Akademia Liczb

Zaloguj się

Materiały

Liczby rzeczywiste

Liczby naturalne

Zadanie 1

Czy przedstawione liczby są podzielne przez 2?

a) (122)
b) (458)
c) (2004)

(122) → Ostatnia liczba „2” jest parzysta, zatem cała liczba jest podzielna przez 2.
(458) → Ostatnia liczba „8” jest parzysta, zatem cała liczba jest podzielna przez 2.
(2004) → Ostatnia liczba „4” jest parzysta, zatem cała liczba jest podzielna przez 2.

(122) → Ostatnia liczba „2” jest parzysta, zatem cała liczba jest podzielna przez 2.
(458) → Ostatnia liczba „8” jest parzysta, zatem cała liczba jest podzielna przez 2.
(2004) → Ostatnia liczba „4” jest parzysta, zatem cała liczba jest podzielna przez 2.

Zadanie 2

Czy przedstawione liczby są podzielne przez 3?
a) (123)
b) (258)
c) (3540)

(123) → Suma cyfr (1 + 2 + 3 = 6).
Liczba (6) jest podzielna przez 3, zatem liczba (123) również jest podzielna przez 3.
(258) → Suma cyfr (2 + 5 + 8 = 15).
Liczba (15) jest podzielna przez 3, zatem liczba (258) również jest podzielna przez 3.
(3540) → Suma cyfr (3 + 5 + 4 + 0 = 12).
Liczba (12) jest podzielna przez 3, zatem liczba (3540) również jest podzielna przez 3.

(123) → Suma cyfr (1 + 2 + 3 = 6).
Liczba (6) jest podzielna przez 3, zatem liczba (123) również jest podzielna przez 3.
(258) → Suma cyfr (2 + 5 + 8 = 15).
Liczba (15) jest podzielna przez 3, zatem liczba (258) również jest podzielna przez 3.
(3540) → Suma cyfr (3 + 5 + 4 + 0 = 12).
Liczba (12) jest podzielna przez 3, zatem liczba (3540) również jest podzielna przez 3.

Zadanie 3

Czy przedstawione liczby są podzielne przez 6?
a) (132)
b) (471)
c) (2406)

(132) → Ostatnia cyfra (2), więc liczba jest podzielna przez 2.
Suma cyfr (1 + 3 + 2 = 6), liczba (6) jest podzielna przez 3.
Skoro liczba jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3, to jest podzielna przez 6.
(471) → Ostatnia cyfra (1), więc liczba nie jest podzielna przez 2.
Suma cyfr (4 + 7 + 1 = 12), liczba (12) jest podzielna przez 3.
Ponieważ liczba nie jest podzielna przez 2, nie jest też podzielna przez 6.
(2406) → Ostatnia cyfra (6), więc liczba jest podzielna przez 2.
Suma cyfr (2 + 4 + 0 + 6 = 12), liczba (12) jest podzielna przez 3.
Skoro liczba jest podzielna przez 2 i przez 3, to jest również podzielna przez 6.

(132) → Ostatnia cyfra (2), więc liczba jest podzielna przez 2.
Suma cyfr (1 + 3 + 2 = 6), liczba (6) jest podzielna przez 3.
Skoro liczba jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3, to jest podzielna przez 6.
(471) → Ostatnia cyfra (1), więc liczba nie jest podzielna przez 2.
Suma cyfr (4 + 7 + 1 = 12), liczba (12) jest podzielna przez 3.
Ponieważ liczba nie jest podzielna przez 2, nie jest też podzielna przez 6.
(2406) → Ostatnia cyfra (6), więc liczba jest podzielna przez 2.
Suma cyfr (2 + 4 + 0 + 6 = 12), liczba (12) jest podzielna przez 3.
Skoro liczba jest podzielna przez 2 i przez 3, to jest również podzielna przez 6.

Zadanie 4

Podaj sumę czterech kolejnych liczb nieparzystych.a) (2n + 1)b) (4n – 3)c) (8n + 5)

(2n + 1) → to pierwsza liczba nieparzysta.
Trzy kolejne liczby nieparzyste otrzymujemy, dodając kolejno 2:
(2n + 1 + 2 = 2n + 3)
(2n + 3 + 2 = 2n + 5)
(2n + 5 + 2 = 2n + 7)
Cztery kolejne liczby nieparzyste to:
(2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7)
Dodajemy je razem:
((2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) = 8n + 16 = 8(n + 2))

(4n – 3) → to pierwsza liczba nieparzysta.
Trzy kolejne liczby nieparzyste otrzymujemy, dodając kolejno 2:

(4n – 3 + 2 = 4n – 1)

(4n – 1 + 2 = 4n + 1)

(4n + 1 + 2 = 4n + 3)

Cztery kolejne liczby nieparzyste to:
(4n – 3, 4n – 1, 4n + 1, 4n + 3)
Dodajemy je razem:
((4n – 3) + (4n – 1) + (4n + 1) + (4n + 3) = 16n)

(8n + 5) → to pierwsza liczba nieparzysta.
Trzy kolejne liczby nieparzyste otrzymujemy, dodając kolejno 2:

(8n + 5 + 2 = 8n + 7)

(8n + 7 + 2 = 8n + 9)

(8n + 9 + 2 = 8n + 11)

Cztery kolejne liczby nieparzyste to:
(8n + 5, 8n + 7, 8n + 9, 8n + 11)
Dodajemy je razem:
((8n + 5) + (8n + 7) + (8n + 9) + (8n + 11) = 32n + 32 = 32(n + 1))

(2n + 1) → to pierwsza liczba nieparzysta.
Trzy kolejne liczby nieparzyste otrzymujemy, dodając kolejno 2:
(2n + 1 + 2 = 2n + 3)
(2n + 3 + 2 = 2n + 5)
(2n + 5 + 2 = 2n + 7)
Cztery kolejne liczby nieparzyste to:
(2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7)
Dodajemy je razem:
((2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) = 8n + 16 = 8(n + 2))
(4n – 3) → to pierwsza liczba nieparzysta.
Trzy kolejne liczby nieparzyste otrzymujemy, dodając kolejno 2:

(4n – 3 + 2 = 4n – 1)

(4n – 1 + 2 = 4n + 1)

(4n + 1 + 2 = 4n + 3)

Cztery kolejne liczby nieparzyste to:
(4n – 3, 4n – 1, 4n + 1, 4n + 3)
Dodajemy je razem:
((4n – 3) + (4n – 1) + (4n + 1) + (4n + 3) = 16n)
(8n + 5) → to pierwsza liczba nieparzysta.
Trzy kolejne liczby nieparzyste otrzymujemy, dodając kolejno 2:

(8n + 5 + 2 = 8n + 7)

(8n + 7 + 2 = 8n + 9)

(8n + 9 + 2 = 8n + 11)

Cztery kolejne liczby nieparzyste to:
(8n + 5, 8n + 7, 8n + 9, 8n + 11)
Dodajemy je razem:
((8n + 5) + (8n + 7) + (8n + 9) + (8n + 11) = 32n + 32 = 32(n + 1))

Zadanie 5

Wyznacz NWD (największy wspólny dzielnik) oraz NWW
(najmniejszą wspólną wielokrotność) dla podanych par liczb:
a) (18 text{ i } 24)
b) (45 text{ i } 60)
c) (84 text{ i } 126)
d) (72 text{ i } 120)

W celu obliczenia największego wspólnego dzielnika (NWD)
i najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) należy rozłożyć liczby
(18) i (24) na czynniki pierwsze:

18 2
9 3
3 3
1
24 2
12 2
6 2
3 3
1

Obliczenie NWW:
Krok 1: Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze:
(24 = 2 times 2 times 2 times 3)
(18 = 2 times 3 times 3)
Krok 2: Wypisujemy, w którym rozkładzie czynnik pierwszy wystąpił najwięcej razy:
(2) → najwięcej razy w liczbie 24
(3) → najwięcej razy w liczbie 18
Krok 3: Wybieramy największe liczby czynników:
(2 times 2 times 2) i (3 times 3)
Krok 4: Obliczamy NWW:
(NWW(18, 24) = 2 times 2 times 2 times 3 times 3 = 72)
Obliczenie NWD:
Krok 1: Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze:
(24 = 2 times 2 times 2 times 3)
(18 = 2 times 3 times 3)
Krok 2: Wybieramy czynniki wspólne dla obu liczb:
(2) i (3)
Krok 3: Wybieramy najmniejsze liczby czynników wspólnych:
(2) (1 raz) i (3) (1 raz)
Krok 4: Obliczamy NWD:
(NWD(18, 24) = 2 times 3 = 6)

45 3
15 3
5 5
1
60 2
30 2
15 3
5 5
1

(45 = 3 times 3 times 5)
(60 = 2 times 2 times 3 times 5)
(NWW(45, 60) = 2 times 2 times 3 times 3 times 5 = 180)
(NWD(45, 60) = 3 times 5 = 15)

84 2
42 2
21 3
7 7
1
126 2
63 3
21 3
7 7
1

(84 = 2 times 2 times 3 times 7)
(126 = 2 times 3 times 3 times 7)
(NWW(84, 126) = 2 times 2 times 3 times 3 times 7 = 252)
(NWD(84, 126) = 2 times 3 times 7 = 42)

72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1
120 2
60 2
30 2
15 3
5 5
1

(72 = 2 times 2 times 2 times 3 times 3)
(120 = 2 times 2 times 2 times 3 times 5)
(NWW(72, 120) = 2 times 2 times 2 times 3 times 3 times 5 = 360)
(NWD(72, 120) = 2 times 2 times 2 times 3 = 24)

W celu obliczenia największego wspólnego dzielnika (NWD)
i najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) należy rozłożyć liczby
(18) i (24) na czynniki pierwsze:

18 2
9 3
3 3
1
24 2
12 2
6 2
3 3
1

Obliczenie NWW:
Krok 1: Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze:
(24 = 2 times 2 times 2 times 3)
(18 = 2 times 3 times 3)
Krok 2: Wypisujemy, w którym rozkładzie czynnik pierwszy wystąpił najwięcej razy:
(2) → najwięcej razy w liczbie 24
(3) → najwięcej razy w liczbie 18
Krok 3: Wybieramy największe liczby czynników:
(2 times 2 times 2) i (3 times 3)
Krok 4: Obliczamy NWW:
(NWW(18, 24) = 2 times 2 times 2 times 3 times 3 = 72)
Obliczenie NWD:
Krok 1: Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze:
(24 = 2 times 2 times 2 times 3)
(18 = 2 times 3 times 3)
Krok 2: Wybieramy czynniki wspólne dla obu liczb:
(2) i (3)
Krok 3: Wybieramy najmniejsze liczby czynników wspólnych:
(2) (1 raz) i (3) (1 raz)
Krok 4: Obliczamy NWD:
(NWD(18, 24) = 2 times 3 = 6)

45 3
15 3
5 5
1
60 2
30 2
15 3
5 5
1

(45 = 3 times 3 times 5)
(60 = 2 times 2 times 3 times 5)
(NWW(45, 60) = 2 times 2 times 3 times 3 times 5 = 180)
(NWD(45, 60) = 3 times 5 = 15)

84 2
42 2
21 3
7 7
1
126 2
63 3
21 3
7 7
1

(84 = 2 times 2 times 3 times 7)
(126 = 2 times 3 times 3 times 7)
(NWW(84, 126) = 2 times 2 times 3 times 3 times 7 = 252)
(NWD(84, 126) = 2 times 3 times 7 = 42)

72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1
120 2
60 2
30 2
15 3
5 5
1

(72 = 2 times 2 times 2 times 3 times 3)
(120 = 2 times 2 times 2 times 3 times 5)
(NWW(72, 120) = 2 times 2 times 2 times 3 times 3 times 5 = 360)
(NWD(72, 120) = 2 times 2 times 2 times 3 = 24)

Liczby całkowite i wymierne

Zadanie 1

Oblicz:
a) (2 tfrac{1}{3} – 1 tfrac{3}{4})
b) (tfrac{5}{6} + left(-tfrac{7}{8} – tfrac{2}{3}right))
c) (-(1 tfrac{4}{5}) + tfrac{11}{12})
d) (-2 tfrac{3}{10} + 1 tfrac{1}{2} – 0{,}2)
e) (2 tfrac{1}{4} cdot left(-1 tfrac{2}{3}right) : left(-tfrac{5}{6}right))

(2 tfrac{1}{3} – 1 tfrac{3}{4} = tfrac{7}{3} – tfrac{7}{4} = tfrac{7^{cdot 4}}{3^{cdot 4}} – tfrac{7^{cdot 3}}{4^{cdot 3}} = tfrac{28}{12} – tfrac{21}{12} = tfrac{7}{12})

(tfrac{5}{6} + big(-tfrac{7}{8} – tfrac{2}{3}big) = tfrac{5}{6} – tfrac{7}{8} – tfrac{2}{3} = tfrac{5^{cdot 4}}{6^{cdot 4}} – tfrac{7^{cdot 3}}{8^{cdot 3}} – tfrac{2^{cdot 8}}{3^{cdot 8}} = tfrac{20}{24} – tfrac{21}{24} – tfrac{16}{24} = -tfrac{17}{24})

(-left(1 tfrac{4}{5}right) + tfrac{11}{12} = -tfrac{9}{5} + tfrac{11}{12} = -tfrac{9^{cdot 12}}{5^{cdot 12}} + tfrac{11^{cdot 5}}{12^{cdot 5}} = -tfrac{108}{60} + tfrac{55}{60} = -tfrac{53}{60})

(-2 tfrac{3}{10} + 1 tfrac{1}{2} – 0{,}2 = -tfrac{23}{10} + tfrac{3}{2} – tfrac{1}{5} = -tfrac{23^{cdot 1}}{10^{cdot 1}} + tfrac{3^{cdot 5}}{2^{cdot 5}} – tfrac{1^{cdot 2}}{5^{cdot 2}} = -tfrac{23}{10} + tfrac{15}{10} – tfrac{2}{10} = -tfrac{10}{10} = -1)

(2 tfrac{1}{4} cdot left(-1 tfrac{2}{3}right) : left(-tfrac{5}{6}right) = tfrac{9}{4} cdot left(-tfrac{5}{3}right) : left(-tfrac{5}{6}right) = tfrac{cancel{9}^{,3}}{4} cdot left(-tfrac{5}{cancel{3}^{,1}}right) : left(-tfrac{5}{6}right) = tfrac{3}{4} cdot left(-tfrac{5}{1}right) : left(-tfrac{5}{6}right) = -tfrac{15}{4} : left(-tfrac{5}{6}right) = -tfrac{15}{4} cdot left(-tfrac{6}{5}right) = -tfrac{cancel{15}^{,3}}{cancel{4}^{,2}} cdot left(-tfrac{cancel{6}^{,3}}{cancel{5}^{,1}}right) = -tfrac{3}{2} cdot left(-tfrac{3}{1}right) = tfrac{9}{2} = 4 tfrac{1}{2})

(2 tfrac{1}{3} – 1 tfrac{3}{4} = tfrac{7}{3} – tfrac{7}{4} = tfrac{7^{cdot 4}}{3^{cdot 4}} – tfrac{7^{cdot 3}}{4^{cdot 3}} = tfrac{28}{12} – tfrac{21}{12} = tfrac{7}{12})
(tfrac{5}{6} + big(-tfrac{7}{8} – tfrac{2}{3}big) = tfrac{5}{6} – tfrac{7}{8} – tfrac{2}{3} = tfrac{5^{cdot 4}}{6^{cdot 4}} – tfrac{7^{cdot 3}}{8^{cdot 3}} – tfrac{2^{cdot 8}}{3^{cdot 8}} = tfrac{20}{24} – tfrac{21}{24} – tfrac{16}{24} = -tfrac{17}{24})
(-left(1 tfrac{4}{5}right) + tfrac{11}{12} = -tfrac{9}{5} + tfrac{11}{12} = -tfrac{9^{cdot 12}}{5^{cdot 12}} + tfrac{11^{cdot 5}}{12^{cdot 5}} = -tfrac{108}{60} + tfrac{55}{60} = -tfrac{53}{60})
(-2 tfrac{3}{10} + 1 tfrac{1}{2} – 0{,}2 = -tfrac{23}{10} + tfrac{3}{2} – tfrac{1}{5} = -tfrac{23^{cdot 1}}{10^{cdot 1}} + tfrac{3^{cdot 5}}{2^{cdot 5}} – tfrac{1^{cdot 2}}{5^{cdot 2}} = -tfrac{23}{10} + tfrac{15}{10} – tfrac{2}{10} = -tfrac{10}{10} = -1)
(2 tfrac{1}{4} cdot left(-1 tfrac{2}{3}right) : left(-tfrac{5}{6}right) = tfrac{9}{4} cdot left(-tfrac{5}{3}right) : left(-tfrac{5}{6}right) = tfrac{cancel{9}^{,3}}{4} cdot left(-tfrac{5}{cancel{3}^{,1}}right) : left(-tfrac{5}{6}right) = tfrac{3}{4} cdot left(-tfrac{5}{1}right) : left(-tfrac{5}{6}right) = -tfrac{15}{4} : left(-tfrac{5}{6}right) = -tfrac{15}{4} cdot left(-tfrac{6}{5}right) = -tfrac{cancel{15}^{,3}}{cancel{4}^{,2}} cdot left(-tfrac{cancel{6}^{,3}}{cancel{5}^{,1}}right) = -tfrac{3}{2} cdot left(-tfrac{3}{1}right) = tfrac{9}{2} = 4 tfrac{1}{2})

Zadanie 2

Oblicz:a) (dfrac{1tfrac{3}{5}}{2tfrac{1}{10}})b) (dfrac{tfrac{3}{4}+tfrac{5}{6}}{tfrac{1}{2}})c) (dfrac{2-tfrac{3}{8}}{1-tfrac{1}{4}})d) (dfrac{tfrac{7}{9}-tfrac{1}{3}}{tfrac{5}{6}+tfrac{1}{4}})

(dfrac{1tfrac{3}{5}}{2tfrac{1}{10}} = 1tfrac{3}{5} : 2tfrac{1}{10} = tfrac{8}{5} : tfrac{21}{10} = tfrac{8}{5} cdot tfrac{10}{21} = tfrac{cancel{8}^{,8}}{cancel{5}^{,5}} cdot tfrac{cancel{10}^{,2}}{cancel{21}^{,7}} = tfrac{16}{21})

(dfrac{tfrac{3}{4}+tfrac{5}{6}}{tfrac{1}{2}} = dfrac{tfrac{3^{cdot 3}}{4^{cdot 3}}+tfrac{5^{cdot 2}}{6^{cdot 2}}}{tfrac{1}{2}} = dfrac{tfrac{9}{12}+tfrac{10}{12}}{tfrac{1}{2}} = dfrac{tfrac{19}{12}}{tfrac{1}{2}} = tfrac{19}{12} : tfrac{1}{2} = tfrac{19}{12} cdot tfrac{2}{1} = tfrac{19}{cancel{12}^{,6}} cdot tfrac{cancel{2}^{,1}}{1} = tfrac{19}{6} = 3 tfrac{1}{6})

(dfrac{2-tfrac{3}{8}}{1-tfrac{1}{4}} = dfrac{tfrac{16}{8}-tfrac{3}{8}}{tfrac{4}{4}-tfrac{1}{4}} = dfrac{tfrac{13}{8}}{tfrac{3}{4}} = tfrac{13}{8} : tfrac{3}{4} = tfrac{13}{8} cdot tfrac{4}{3} = tfrac{13 cdot cancel{4}^{,1}}{cancel{8}^{,2} cdot 3} = tfrac{13}{6})

(dfrac{tfrac{7}{9}-tfrac{1}{3}}{tfrac{5}{6}+tfrac{1}{4}} = dfrac{tfrac{7}{9}-tfrac{1^{cdot 3}}{3^{cdot 3}}}{tfrac{5^{cdot 2}}{6^{cdot 2}}+tfrac{1^{cdot 3}}{4^{cdot 3}}} = dfrac{tfrac{7}{9}-tfrac{3}{9}}{tfrac{10}{12}+tfrac{3}{12}} = dfrac{tfrac{4}{9}}{tfrac{13}{12}} = tfrac{4}{9} : tfrac{13}{12} = tfrac{4}{9} cdot tfrac{12}{13} = tfrac{4}{cancel{9}^{,3}} cdot tfrac{cancel{12}^{,4}}{13} = tfrac{4}{3} cdot tfrac{4}{13} = tfrac{16}{39})

(dfrac{1tfrac{3}{5}}{2tfrac{1}{10}} = 1tfrac{3}{5} : 2tfrac{1}{10} = tfrac{8}{5} : tfrac{21}{10} = tfrac{8}{5} cdot tfrac{10}{21} = tfrac{cancel{8}^{,8}}{cancel{5}^{,5}} cdot tfrac{cancel{10}^{,2}}{cancel{21}^{,7}} = tfrac{16}{21})
(dfrac{tfrac{3}{4}+tfrac{5}{6}}{tfrac{1}{2}} = dfrac{tfrac{3^{cdot 3}}{4^{cdot 3}}+tfrac{5^{cdot 2}}{6^{cdot 2}}}{tfrac{1}{2}} = dfrac{tfrac{9}{12}+tfrac{10}{12}}{tfrac{1}{2}} = dfrac{tfrac{19}{12}}{tfrac{1}{2}} = tfrac{19}{12} : tfrac{1}{2} = tfrac{19}{12} cdot tfrac{2}{1} = tfrac{19}{cancel{12}^{,6}} cdot tfrac{cancel{2}^{,1}}{1} = tfrac{19}{6} = 3 tfrac{1}{6})
(dfrac{2-tfrac{3}{8}}{1-tfrac{1}{4}} = dfrac{tfrac{16}{8}-tfrac{3}{8}}{tfrac{4}{4}-tfrac{1}{4}} = dfrac{tfrac{13}{8}}{tfrac{3}{4}} = tfrac{13}{8} : tfrac{3}{4} = tfrac{13}{8} cdot tfrac{4}{3} = tfrac{13 cdot cancel{4}^{,1}}{cancel{8}^{,2} cdot 3} = tfrac{13}{6})
(dfrac{tfrac{7}{9}-tfrac{1}{3}}{tfrac{5}{6}+tfrac{1}{4}} = dfrac{tfrac{7}{9}-tfrac{1^{cdot 3}}{3^{cdot 3}}}{tfrac{5^{cdot 2}}{6^{cdot 2}}+tfrac{1^{cdot 3}}{4^{cdot 3}}} = dfrac{tfrac{7}{9}-tfrac{3}{9}}{tfrac{10}{12}+tfrac{3}{12}} = dfrac{tfrac{4}{9}}{tfrac{13}{12}} = tfrac{4}{9} : tfrac{13}{12} = tfrac{4}{9} cdot tfrac{12}{13} = tfrac{4}{cancel{9}^{,3}} cdot tfrac{cancel{12}^{,4}}{13} = tfrac{4}{3} cdot tfrac{4}{13} = tfrac{16}{39})

Scroll to Top