Matura
08.2025
Zadanie 1
Rozwiązanie
\[ \sqrt{7}\approx2{,}65 \]
\[ 2{,}65-4=-1{,}35 \]
\[ 2{,}65-2=0{,}65 \]
\[ -\sqrt{7}+4+\sqrt{7}-2=4-2=2 \]
Odp. C. \( 2 \)
Rozwiązanie z wytłumaczeniem
Aby sprawdzić znaki wyrażeń z pierwiastkiem, najpierw szacujemy wartość \( {\sqrt{7}} \).
\[ \sqrt{7}\approx2{,}65 \]
Podstawiamy przybliżenie do wyrażenia \( {\sqrt{7}-4} \), aby sprawdzić jego znak.
\[ 2{,}65-4=-1{,}35 \]
Sprawdzamy drugie wyrażenie \( {\sqrt{7}-2} \).
\[ 2{,}65-2=0{,}65 \]
Pierwsze wyrażenie jest ujemne, więc zmieniamy w nim znaki, a drugie przepisujemy bez zmian.
\[ -\sqrt{7}+4+\sqrt{7}-2=4-2=2 \]
Odp. C. \( 2 \)
Zadanie 2
Rozwiązanie
\[ \frac{3^{4}\cdot(3^{4})^{-1}}{(3^{3})^{-2}} =\frac{3^{4}\cdot3^{-4}}{3^{-6}} =\frac{3^{4+(-4)}}{3^{-6}} =\frac{3^{0}}{3^{-6}} =3^{0-(-6)}=3^{0+6}=3^{6} \]
Odp. D. \( 3^{6} \)
Rozwiązanie z wytłumaczeniem
Najpierw zamieniamy wszystkie liczby na potęgi o tej samej podstawie \( {3} \).
\[ \frac{3^{4}\cdot(3^{4})^{-1}}{(3^{3})^{-2}} \]
Kiedy mamy potęgę nad potęgą, wtedy potęgi mnożymy.
\[ \frac{3^{4}\cdot3^{-4}}{3^{-6}} \]
Teraz łączymy potęgi w liczniku, ponieważ mamy mnożenie potęg o tej samej podstawie. Przy mnożeniu potęgi się dodają.
\[ \frac{3^{4+(-4)}}{3^{-6}}=\frac{3^{4-4}}{3^{-6}}=\frac{3^{0}}{3^{-6}} \]
Kreska ułamkowa oznacza dzielenie, więc odejmujemy potęgi.
\[ 3^{0-(-6)}=3^{0+6}=3^{6} \]
Odp. D. \( 3^{6} \)
Zadanie 3
Rozwiązanie
Rozkładamy liczby pod pierwiastkami na czynniki.
\[ \sqrt[3]{40}+\sqrt[3]{135} =\sqrt[3]{8\cdot5}+\sqrt[3]{27\cdot5} =2\sqrt[3]{5}+3\sqrt[3]{5} =5\sqrt[3]{5} \]
Odp. B. \( 5\sqrt[3]{5} \)
Zadanie 4
Rozwiązanie
\[ \log_{4}{\frac{6}{96}}=\log_{4}{\frac{\cancel{6}\,1}{\cancel{96}\,16}}=\log_{4}{\frac{1}{16}} \]
\[ 4^x=\frac{1}{16} \]
\[ 4^x=16^{-1} \]
\[ 4^x=(4^{2})^{-1} \]
\[ 4^x=4^{-2} \]
\[ x=-2 \]
\[ \log_{4}{\frac{1}{16}}=-2 \]
Odp. A. \( -2 \)
Rozwiązanie z wytłumaczeniem
Jeżeli logarytmy są tej samej podstawy \(4\) to liczby logarytmów \(6\) i \(96\) możemy ze sobą podzielić.
\[ \log_{4}{\frac{6}{96}}=\log_{4}{\frac{\cancel{6}\,1}{\cancel{96}\,16}}=\log_{4}{\frac{1}{16}} \]
Sprawdzamy, do której potęgi należy podnieść \( {4} \), aby otrzymać \( {\dfrac{1}{16}} \).
\[ 4^x=\frac{1}{16} \]
\[ 4^x=16^{-1} \]
\[ 4^x=(4^{2})^{-1} \]
\[ 4^x=4^{-2} \]
Mając te same podstawy możemy przyrównać ze sobą potęgi.
\[ x=-2 \]
\[ \log_{4}{\frac{1}{16}}=-2 \]
Odp. A. \( -2 \)
Zadanie 5
Rozwiązanie
Zauważmy, że liczbę \( {27} \) możemy zapisać jako potęgę liczby \( {3} \).
\[ 3^{37}-27^{12} =3^{37}-(3^{3})^{12} =3^{37}-3^{36} \]
Wyciągamy wspólną potęgę \( {3^{36}} \) przed nawias.
\[ 3^{37}-3^{36} =3^{36}(3-1) =3^{36}\cdot2 \]
W rozkładzie otrzymaliśmy czynnik \( {2} \), więc dana liczba jest podzielna przez \( {2} \).
Odp. \( 3^{37}-27^{12} \) jest podzielna przez \( 2 \).
Zadanie 6
Rozwiązanie
\[ (a+b)^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2 \]
\[ (a-b)^2=a^2-2\cdot a\cdot b+b^2 \]
\[ (5x+2y)^2=(5x)^2+2\cdot5x\cdot2y+(2y)^2=25x^2+20xy+4y^2 \]
\[ (5x-2y)^2=(5x)^2-2\cdot5x\cdot2y+(2y)^2=25x^2-20xy+4y^2 \]
\[ (25x^2+20xy+4y^2)-(25x^2-20xy+4y^2) =25x^2+20xy+4y^2-25x^2+20xy-4y^2 =40xy \]
Odp. A. \( 40xy \)
Rozwiązanie z wytłumaczeniem
Jeżeli zauważymy wyrażenia \( {(..+..)^2} \) oraz \( {(..-..)^2} \), to mamy do czynienia ze wzorami skróconego mnożenia.
\[ (a+b)^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2 \]
\[ (a-b)^2=a^2-2\cdot a\cdot b+b^2 \]
Podstawiamy \( {a=5x} \) oraz \( {b=2y} \) i rozwijamy oba nawiasy.
\[ (5x+2y)^2=(5x)^2+2\cdot5x\cdot2y+(2y)^2=25x^2+20xy+4y^2 \]
\[ (5x-2y)^2=(5x)^2-2\cdot5x\cdot2y+(2y)^2=25x^2-20xy+4y^2 \]
Wstawiamy do wyrażenia i pamiętamy, że drugie jest odejmowane.
\[ (25x^2+20xy+4y^2)-(25x^2-20xy+4y^2) =25x^2+20xy+4y^2-25x^2+20xy-4y^2 =40xy \]
Odp. A. \( 40xy \)
Zadanie 7
\[ 2-x \le \frac{3x+4}{5} \]
Rozwiązanie
Na początku usuwamy ułamek, więc mnożymy obie strony przez \( 5 \).
\[ 2-x \leqslant \frac{3x+4}{5} \quad |\cdot5 \]
\[ 2\cdot5-x\cdot5 \leqslant \frac{3x+4}{5}\cdot5 \]
\[ 10-5x \leqslant 3x+4 \]
Przerzucamy \( x \) na jedną stronę, a liczby na drugą.
\[ 10-4 \leqslant 3x+5x \]
\[ 6 \leqslant 8x \]
Dzielimy obie strony przez \( 8 \).
\[ 6 \leqslant 8x \quad |:8 \]
\[ \frac{6}{8} \leqslant x \]
\[ \frac{3}{4} \leqslant x \]
\[ x \geqslant \frac{3}{4} \]
Odp. C. \( x\in\left[\frac{3}{4},+\infty\right) \)
Zadanie 8
\[ \frac{x-1}{x+2}=\frac{x+1}{3x+1},\quad \] gdzie \( {x\neq-2} \) i \( {x\neq-\frac{1}{3}} \)
Rozwiązanie
Sprawdzamy warunki. Nie możemy dzielić przez \( {0} \), więc mianowniki muszą być różne od zera.
\[ x+2\neq0\Rightarrow x\neq-2 \]
\[ 3x+1\neq0\Rightarrow x\neq-\frac{1}{3} \]
Teraz mnożymy na krzyż.
\[ (x-1)(3x+1)=(x+1)(x+2) \]
Rozwijamy nawiasy i porządkujemy równanie.
\[ 3x^2+x-3x-1=x^2+2x+x+2 \]
\[ 3x^2-2x-1=x^2+3x+2 \]
\[ 2x^2-5x-3=0 \]
Mamy równanie kwadratowe, więc liczymy \( {\Delta} \).
\[ \Delta=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3) \]
\[ \Delta=25+24=49 \]
\[ \sqrt{\Delta}=7 \]
Liczymy rozwiązania.
\[ x_1=\frac{5-7}{4}=-\frac{1}{2} \]
\[ x_2=\frac{5+7}{4}=3 \]
Sprawdzamy warunki \( {x\neq-2} \) oraz \( {x\neq-\frac{1}{3}} \). Oba rozwiązania pasują.
Odp. Rozwiązaniem równania, które należy do zbioru\(\; (0,+\infty) \) jest liczba \({x=3} \).
Zadanie 9
\[ 2x^2<8x+10 \]
Rozwiązanie
W zadaniach z nierównością kwadratową wszystko przerzucamy na lewą stronę, a następnie liczymy \( {\Delta} \) oraz miejsca zerowe.
\[ 2x^2<8x+10 \]
\[ 2x^2-8x-10<0 \]
Odczytujemy współczynniki.
\[ a=2 \quad b=-8 \quad c=-10 \]
Liczymy deltę.
\[ \Delta=(-8)^2-4\cdot2\cdot(-10) \]
\[ \Delta=64+80 \]
\[ \Delta=144 \]
\[ \sqrt{\Delta}=12 \]
Liczymy pierwsze miejsce zerowe.
\[ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-8)-12}{2\cdot2}=\dfrac{8-12}{4}=\dfrac{-4}{4}=-1 \]
Następnie liczymy drugie miejsce zerowe.
\[ x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-8)+12}{2\cdot2}=\dfrac{8+12}{4}=\dfrac{20}{4}=5 \]
Rozwiązujemy nierówność na osi \( {X} \) (rysujemy parabolę).
\[ x\in(-1,5) \]
Odp. Rozwiązaniem równania, jest przedział \( {x\in(-1,5)} \).
Zadanie 10
Rozwiązanie
W równaniu zapisanym jako iloczyn nawiasów wystarczy każdy nawias przyrównać do zera.
\[ \begin{array}{lll} 2x-4=0 & 6x-12=0 & x-5=0 \\ 2x=4\quad |:2 & 6x=12\quad |:6 & x=5 \\ x=2 & x=2 & x=5 \end{array} \]
Obliczamy sumę dwóch najmniejszych rozwiązań.
\[ 2+2=4 \]
Odp. C. \( {4} \)
Zadanie 11
Rozwiązanie
To jest zadanie tekstowe, które rozwiążemy za pomocą układu równań.
\( {x} \) – ilość kg pomidorów malinowych,
\( {y} \) – ilość kg pomidorów cherry.
Pierwsze równanie tworzymy z całkowitej masy pomidorów.
\[ {x+y=75} \]
Drugie równanie tworzymy z całkowitej ceny za pomidory.
\[ {11x+7,98y=752,52} \]
Zapisujemy układ równań.
\[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=75 \\ 11x+7,98y=752,52 \end{array} \right. \]
Z pierwszego równania wyznaczamy \( {x} \).
\[ {x=75-y} \]
Podstawiamy do drugiego równania.
\[ {11(75-y)+7,98y=752,52} \]
\[ {825-11y+7,98y=752,52} \]
\[ {-3,02y=72,48 \quad |:(-3,02)} \]
\[ {y=24} \]
\[ {x=75-24=51} \]
Odp. Właściciel restauracji kupił \( {51} \) kg pomidorów malinowych.
Zadanie 12
\[f(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
-2x-10 & \text{dla}\; x\in(-5,-3] \\
x-1 & \text{dla}\; x\in(-3,4]
\end{array}
\right.
\]
Zadanie 12.1
Rozwiązanie
Odczytujemy punkt przecięcia na osi \(X\). Wynosi on \({x=1}\).
Odp. Miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba \(3\).
Rozwiązanie
Odczytujemy wartość (czyli y) dla \({x=-2}\) i dla \({x=2}\). Wynoszą one \({f(-2)=-3}\) i \({f(2)=1}\). Podstawiamy do wzoru.
\[ {-3+3\cdot1=}\,{-3+3=0} \]
Odp. Wartość wyrażenia \({f(-2)+3\cdot(-2)}\) jest równa 0.
Zadanie 12.2
Rozwiązanie
Odczytujemy teraz przedział wartości na osi \(Y\) (spogladamy od najmniejszego punktu do największego na osi \(Y\).
Odp.Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział \({[-4,3]}\).
Rozwiązanie
Spójrzmy na część wykresu poniżej prostej \({y=-2}\). Ta właśnie część wykresu jest poniżej wartości -2. Należy teraz podać przedział rozwiązania nierówności.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \({f(x)<-2}\) jest przedział \({(-4,-1)}\)
Zadanie 13
Rozwiązanie
Zdanie „Miejscem zerowym funkcji liniowej \( {g} \) jest liczba \( {-3} \)” oznacza punkt przecięcia z osią \( {X} \): \( {(-3,0)} \).
Zdanie „Dla argumentu \( {0} \) funkcja \( {g} \) przyjmuje wartość \( {-\frac{3}{2}} \)” oznacza punkt przecięcia z osią \( {Y} \): \( {(0,-\frac{3}{2})} \).
Korzystamy ze wzoru na równanie prostej \( {y=ax+b} \).
Wyznaczamy współczynnik kierunkowy \( {a} \) z dwóch punktów.
\[ \begin{array}{ll} x_1=-3 & y_1=0 \\ x_2=0 & y_2=-\dfrac{3}{2} \end{array} \]
\[ {a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} \]
\[ {a=\dfrac{-\dfrac{3}{2}-0}{0-(-3)}=}\, {\dfrac{-\dfrac{3}{2}}{3}=}\, {-\dfrac{3}{2}:3=}\, {-\dfrac{3}{2}:\dfrac{3}{1}=}\, {-\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=}\, {-\dfrac{\cancel{3}1}{2}\cdot\dfrac{1}{\cancel{3}1}=}\, {-\dfrac{1}{2}} \]
Współczynnik \( {b} \) odczytujemy z punktu przecięcia z osią \( {Y} \).
Mamy więc \( {b=-\dfrac{3}{2}} \).
Ostatecznie równanie funkcji ma postać: \( {y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}} \).
Odp. A. \( {y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}} \)
Zadanie 14
Zadanie 14.1
Rozwiązanie
Zaznaczamy na rysunku miejsce zerowe \( {x=6} \). Następnie zaznaczamy oś symetrii \( {x=1} \). Odległość miejsca zerowego od osi symetrii wynosi \( {5} \). Taką samą odległość odkładamy na drugą stronę osi. Otrzymujemy drugie miejsce zerowe \( {x=-4} \).
Wzór funkcji kwadratowej zapisujemy w postaci iloczynowej \( {f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)} \).
\[ {f(x)=\dfrac{1}{2}(x+4)(x-6)} \]
Odp. C. \( {f(x)=\dfrac{1}{2}(x+4)(x-6)} \)
Zadanie 14.2
Rozwiązanie
Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej \( {f(x)=\dfrac{1}{2}(x+4)(x-6)} \) najpierw mnożymy nawiasy, a dopiero potem mnożymy przez liczbę przed nawiasem.
\[ {f(x)=\dfrac{1}{2}(x+4)(x-6)=}\, {\dfrac{1}{2}(x^2-6x+4x-24)=}\, {\dfrac{1}{2}(x^2-2x-24)=}\, {\dfrac{1}{2}x^2-x-12} \]
Porównujemy z postacią \( {f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+bx+c} \) i odczytujemy współczynniki.
Mamy \( {b=-1} \) oraz \( {c=-12} \).
Odp. 1. F 2. F
Zadanie 14.3
Rozwiązanie
Wzór \( {g(x)=f(x-3)} \) oznacza przesunięcie wykresu o \( {3} \) jednostki w prawo. Jeżeli wykres się przesuwa, to oś symetrii również.
Obecna oś symetrii ma równanie \( {x=1} \). Po przesunięciu o \( {3} \) w prawo otrzymujemy \( {x=4} \).
Odp. D. \( {x=4} \)
Zadanie 15
Rozwiązanie
Szósty wyraz ciągu oznacza, że w miejsce \( {n} \) podstawiamy liczbę \( {6} \).
\[ {a_6=\dfrac{32\cdot(-1)^6}{2^{6-1}}=}\, {\dfrac{32\cdot1}{2^5}=}\, {\dfrac{32}{32}=}\, {1} \]
Odp. C. \( {1} \)
Zadanie 16
Rozwiązanie
Wypisujemy informacje potrzebne do obliczenia szóstego wyrazu ciągu.
\( {r=-4} \quad {a_{10}=-24} \)
Wyraz \( {a_{10}} \) możemy zapisać jako sumę wyrazu \( {a_6} \) i \( {4r} \).
\[ {a_{10}=a_6+4r} \]
Podstawiamy dane i obliczamy.
\[ {-24=a_6+4\cdot(-4)} \]
\[ {-24=a_6-16} \]
\[ {-24+16=a_6} \]
\[ {-8=a_6} \]
Odp. B. \( {-8} \)
Zadanie 17
Rozwiązanie
Z równania \( {a_3=-8\cdot a_6} \) zapisujemy wyraz \( {a_6} \) za pomocą ilorazu ciągu geometrycznego.
\[ {a_6=a_3\cdot q^3} \]
\[ {a_3=-8\cdot a_3\cdot q^3} \]
Dzielimy obie strony przez \( {a_3} \).
\[ {a_3=-8\cdot a_3\cdot q^3 \quad |:a_3} \]
\[ {1=-8\cdot q^3} \]
\[ {1=-8\cdot q^3 \quad |:(-8)} \]
\[ {-\dfrac{1}{8}=q^3} \]
Iloraz jest w trzeciej potędze, więc pierwiastkujemy obie strony pierwiastkiem trzeciego stopnia.
\[ {q=\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}}} \]
\[ {q=-\dfrac{1}{2}} \]
Odp. B. \( {-\dfrac{1}{2}} \)
Zadanie 18
Rozwiązanie
W zadaniach, w których pojawia się zapis „trzywyrazowy” lub „sąsiednich”, możemy skorzystać z gotowych wzorów.
Dla ciągu arytmetycznego mamy wzór \( {a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}} \), gdzie \( {a_{n-1}} \) jest wyrazem po lewej, \( {a_n} \) po środku, a \( {a_{n+1}} \) po prawej.
Obliczamy wartość \( {x} \) dla ciągu arytmetycznego.
\[ {a_{n-1}=\sqrt{5} \quad a_n=1 \quad a_{n+1}=x} \]
\[ {1=\dfrac{\sqrt{5}+x}{2}} \]
\[ {1=\dfrac{\sqrt{5}+x}{2} \quad |\cdot2} \]
\[ {2=\sqrt{5}+x} \]
\[ {2-\sqrt{5}=x} \]
Sprawdzamy w przybliżeniu wartość \( {x} \).
\[ {x=2-2,23\approx-0,23} \]
Widzimy, że \( {x<0} \).
Dla ciągu geometrycznego korzystamy ze wzoru \( {(a_n)^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}} \).
Obliczamy wartość \( {y} \).
\[ {a_{n-1}=\sqrt{5} \quad a_n=1 \quad a_{n+1}=y} \]
\[ {1^2=\sqrt{5}\cdot y} \]
\[ {1=\sqrt{5}\cdot y \quad |:\sqrt{5}} \]
\[ {\dfrac{1}{\sqrt{5}}=y} \]
Sprawdzamy w przybliżeniu wartość \( {y} \).
\[ {y=\dfrac{1}{2,23}\approx0,45} \]
Widzimy, że \( {y>0} \).
Odp. B. \( {x<0 \quad y>0} \)
Zadanie 19
Rozwiązanie
Jeżeli kąt jest ostry, to możemy rozwiązać to za pomocą wzoru na \(tg\,\alpha\) z trójkąta prostokątnego.
\[ {{\cos\alpha}=\dfrac{b}{c} \quad {tg\,\alpha}=\dfrac{a}{b}} \]
\[ {{\cos\alpha}=\dfrac{5}{13} \quad b=5 \quad c=13} \]
Do obliczenia \( {{tg\,\alpha}} \) potrzebujemy długości boku \( {a} \). Obliczymy ją z twierdzenia Pitagorasa.
\[ {a^2+b^2=c^2} \]
\[ {a^2+5^2=13^2} \]
\[ {a^2+25=169} \]
\[ {a^2=169-25} \]
\[ {a^2=144 \quad |\sqrt{}} \]
\[ {a=12} \]
Teraz obliczamy wartość \( {{tg\,\alpha}} \).
\[ {{tg\,\alpha}=\dfrac{12}{5}} \]
Odp. D. \( {\dfrac{12}{5}} \)
Zadanie 20
Rozwiązanie
Odczytujemy wartości funkcji trygonometrycznych z tabeli.
\[ {{\sin30^{\circ}}=\dfrac{1}{2} \quad {\cos60^{\circ}}=\dfrac{1}{2}}\quad {{\sin60^{\circ}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad {\cos30^{\circ}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ {\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=}\, {\dfrac{1}{4}+ \dfrac{\sqrt{9}}{4}=}\, {\dfrac{1}{4}+ \dfrac{3}{4}=}\, {\dfrac{4}{4}=}\, {1} \]
Odp. D. \( {1} \)
Zadanie 21
Zadanie 21.1
Rozwiązanie
Szukamy kąta wpisanego i kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
Kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy od kąta wpisanego.
\[ {\angle ASB=2\cdot40^{\circ}=80^{\circ}} \]
Odp. D. \( 80^{\circ} \)
Zadanie 21.2
Rozwiązanie
Do obliczenia długości łuku \( {BC} \) korzystamy ze wzoru \( {L=\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\cdot2\pi\cdot r} \).
Do punktu \( {C} \) prowadzimy promień \( {r=36} \). Powstaje trójkąt równoramienny, więc obliczamy kąt środkowy \( {\angle BSC} \).
\[ {180^{\circ}-65^{\circ}-65^{\circ}=50^{\circ}} \]
\[ {L=\dfrac{50^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot2\pi\cdot36=}\, {\dfrac{\cancel{50^{\circ}}\,5}{\cancel{360^{\circ}}\,36}\cdot2\pi\cdot36=}\, {\dfrac{5}{\cancel{36}\,1}\cdot2\pi\cdot\cancel{36}\,1=}\, {\dfrac{5}{1}\cdot2\pi=}\, {10\pi} \]
Odp. B. \( 10\pi \)
Zadanie 22
Zadanie 22.1
Rozwiązanie
Mamy dane dwa boki trójkąta \( {AB=6} \), \( {AC=4} \) oraz kąt pomiędzy nimi \( {\angle CAB=60^{\circ}} \), więc liczymy pole ze wzoru \( {P=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin\alpha} \).
\[ {P=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin\alpha} \]
\[ {P=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot6\cdot\sin60^{\circ}=}\, {\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=}\, {\dfrac{1}{\cancel{2}\,1}\cdot\cancel{4}2\cdot6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=}\, {\cancel{2}1\cdot6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\cancel{2}\,1}=}\, {6\sqrt{3}} \]
Odp. B. \( 6\sqrt{3} \)
Zadanie 22.2
Rozwiązanie
Twierdzenie cosinusów możemy zastosować, gdy znamy dwa boki trójkąta i kąt między nimi, a chcemy policzyć bok leżący naprzeciwko tego kąta.
\[ {a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos\alpha} \]
Dla \( {b=4} \), \( {c=6} \), \( {\alpha=60^{\circ}} \) mamy:
\[ {a^2=4^2+6^2-2\cdot4\cdot6\cdot\cos60^{\circ}} \]
\[ {a^2=16+36-48\cdot\cos60^{\circ}} \]
\[ {a^2=16+36-48\cdot\dfrac{1}{2}} \]
\[ {a^2=52-24} \]
\[ {a^2=28 \quad |\sqrt{}} \]
\[ {a=\sqrt{28}} \]
Odp. A. \( \sqrt{28} \)
Zadanie 23
Rozwiązanie
Trójkąty \( {\triangle ADB} \) i \( {\triangle ACB} \) mają tę samą podstawę \( {AB} \) i taką samą wysokość \( {h} \), więc ich pola są równe.
\[ {P=\dfrac{1}{2}\cdot\text{podstawa}\cdot\text{wysokość} } \]
\[ {P_{ADB}=\dfrac{1}{2}\cdot|AB|\cdot h} \]
\[ {P_{ACB}=\dfrac{1}{2}\cdot|AB|\cdot h} \]
\[ {P_{ADB}=P_{ACB}} \]
Pole trójkąta \( {\triangle ADB} \) składa się z pól \( {\triangle AED} \) i \( {\triangle AEB} \), a pole trójkąta \( {\triangle ACB} \) składa się z pól \( {\triangle BCE} \) i \( {\triangle AEB} \).
\[ {P_{ADB}=P_{AED}+P_{AEB}} \]
\[ {P_{ACB}=P_{BCE}+P_{AEB}} \]
Podstawiamy do równości \( {P_{ADB}=P_{ACB}} \).
\[ {P_{AED}+P_{AEB}=P_{BCE}+P_{AEB}} \]
\[ {P_{AED}=P_{BCE}} \]
Wyszło, że pola trójkątów \( {\triangle AED} \) oraz \( {\triangle BCE} \) są równe.
Odp. Prawda.
Rozwiązanie
Trójkąty \( {\triangle ABE} \) oraz \( {\triangle CDE} \) są podobne z cechy KKK.
K: kąty naprzemianległe \( {\angle CAB=\angle ACD} \),
K: kąty naprzemianległe \( {\angle ABD=\angle BDC} \),
K: kąty wierzchołkowe \( {\angle AEB=\angle DEC} \).
Skoro trójkąty są podobne, to obliczamy skalę podobieństwa z porównania odpowiadających sobie podstaw.
\[ {k=\dfrac{|AB|}{|CD|}} \]
Z treści zadania: \( {|AB|=2\cdot|CD|} \).
\[ {k=\dfrac{2\cdot|CD|}{|CD|}=}\, {\dfrac{2\cdot\cancel{|CD|}}{\cancel{|CD|}}=}\, {2} \]
Skala długości boków wynosi \( {k=2} \). Żeby porównać pola, bierzemy skalę kwadratową.
\[ {k=2 \quad |^2} \]
\[ {k^2=4} \]
Czyli pole trójkąta \( {\triangle ABE} \) jest cztery razy większe od pola trójkąta \( {\triangle CDE} \).
Odp. Pole trójkąta \( {\triangle ABE} \) jest dwa razy większe od pola trójkąta \( {\triangle CDE} \). FAŁSZ
Zadanie 24
\[ k:\; y=(3-m)x+5 \]
\[ l:\; y=(m+3)x-4 \]
Rozwiązanie
Proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe.
\[ {a_1=a_2} \]
W postaci \( {y=ax+b} \) współczynnikiem kierunkowym jest liczba stojąca przy \( {x} \).
\[a_1=3-m \quad a_2=m+3\]
Podstawiamy do warunku \( {a_1=a_2} \).
\[ {3-m=m+3} \]
\[ {3-3=m+m} \]
\[ {0=2m \quad |:2} \]
\[ {m=0} \]
Odp. Proste \( k \) oraz \( l \) są równoległe, gdy liczba \( m \) jest równa \( 0 \) .
Zadanie 25
\[\mathcal{O}: \; (x-1)^2+(y+3)^2=4\]
Rozwiązanie
Podane równanie przedstawia okrąg w kartezjańskim układzie współrzędnych XY o środku okręgu S(a,b) i promieniu r.
\[ {(x-a)^2+(y-b)^2=r^2} \]
\[ {(x-1)^2+(y+3)^2=4} \]
Środek okręgu wynosi \( {S(1,-3)} \), a promień \( {r=2} \). Kolejnym krokiem jest narysowanie okręgu w układzie XY.
Narysowany okrąg 𝒪 nie ma punktów przecięcia z osią X, ale ma dwa punkty przecięcia z osią Y.
Odp. Okrąg 𝒪 nie ma punktów wspólnych z osią 𝑂𝑥 układu współrzędnych. PRAWDA
Odp. Okrąg 𝒪 ma z osią 𝑂𝑦 układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne. PRAWDA
Zadanie 26
Rozwiązanie
Zapiszmy najpierw wzór na objętość graniastosłupa i pole powierzchni całkowitej.
\[ {V=P_p\cdot H} \]
\[ {P_c=2\cdot P_p+P_b} \]
Gdzie:
\(P_p\) – pole podstawy graniastosłupa,
\(H\) – wysokość graniastosłupa,
\(P_b\) – pole boczne graniastosłupa.
W celu obliczenia pola bocznego \(P_b\) i \(P_p\) musimy obliczyć krawędź podstawy \(a\) i wysokość \(H\). W zadaniu mamy powiedziane „Graniastosłup prawidłowy trójkątny”, słowo „prawidłowy” mówi nam, że w podstawie jest trójkąt równoboczny.
Z treści zadania znamy wysokość trójkąta równobocznego w podstawie, która wynosi \( {2\sqrt{3}} \). Korzystamy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego. Podstawiamy wysokość i liczymy długość podstawy \(a\).
\[ h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \]
\[ {2\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \quad |\cdot2} \]
\[ {4\sqrt{3}=a\sqrt{3} \quad |:\sqrt{3}} \]
\[ {a=4} \]
Przejdźmy do obliczenia wysokości graniastosłupa \(H\). Pomoże nam w tym trójkąt charakterystyczny \(30^{\circ}\), \(60^{\circ}\), \(90^{\circ}\) (mowa o trójkącie ABE).
Zatem wysokość graniastosłupa wynosi \({H=4\sqrt{3}}\).
Obliczamy pole podstawy, czyli pole trójkąta równobocznego.
\[ {P_p=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=}\, {\dfrac{4^2\sqrt{3}}{4}=}\, {\dfrac{16\sqrt{3}}{4}=}\, {\dfrac{\cancel{16}\,4\sqrt{3}}{\cancel{4}\,1}=}\, {4\sqrt{3}} \]
Obliczamy pole boczne, które składa się z trzech jednakowych ścian prostokąta.
\[ {P_b=3\cdot P_{\text{▯}}=}\, {3\cdot(a\cdot H)=}\, {3\cdot(4\cdot4\sqrt{3})=}\, {48\sqrt{3}} \]
\[ {V=P_p\cdot H=}\, {4\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}=}\, {16\sqrt{9}=}\, {16\cdot3=}\, {48} \]
\[ {P_c=2\cdot P_p+P_b=}\, {2\cdot4\sqrt{3}+48\sqrt{3}=}\, {8\sqrt{3}+48\sqrt{3}=}\, {56\sqrt{3}} \]
Odp. Objętość graniastosłupa wynosi \({V=48}\), a pole powierzchni całkowitej \({P_c=56\sqrt{3}}\).
Zadanie 27
Rozwiązanie
Z treści zadania odczytujemy \( {r=2} \) oraz \( {V=16\pi} \). Szukamy wysokości walca \( {H} \).
Korzystamy ze wzoru na objętość walca.
\[
{V=\pi r^2 H}
\]
Podstawiamy dane z zadania.
\[
{16\pi=\pi\cdot(2)^2\cdot H}
\]
\[
{16\pi=\pi\cdot4\cdot H} \quad |:\pi
\]
\[
{16=4H}
\]
\[
{16=4H \quad |:4}
\]
\[
{H=4}
\]
Odp. B. \(4\)
Zadanie 28
Rozwiązanie
Szukamy trzycyfrowych liczb większych niż \( {500} \), które mają tylko cyfry nieparzyste.
Cyfry nieparzyste to \( {1,3,5,7,9} \), mamy ich \( {5} \).
Ponieważ liczba ma być większa niż \( {500} \), cyfra setek musi być równa \( {5} \), \( {7} \) lub \( {9} \).
Na miejscu setek mamy więc \( {3} \) możliwości.
Na miejscu dziesiątek i jedności mogą być dowolne cyfry nieparzyste, czyli po \( {5} \) możliwości na każdą pozycję.
Obliczamy liczbę wszystkich możliwości.
\[ {3\cdot5\cdot5=75} \]
Odp. C. \( {75} \)
Zadanie 29
Rozwiązanie
Ponieważ rzucamy kostką dwa razy, najwygodniej jest rozpisać wszystkie możliwości w tabeli.
Najpierw liczymy liczbę wszystkich możliwych wyników.
\[ {\Omega=}\, {6\cdot6=36} \]
Teraz wybieramy liczby dwucyfrowe, które są jednocześnie nieparzyste i podzielne przez \( {3} \).
Liczba jest podzielna przez \( {3} \), gdy suma jej cyfr jest podzielna przez \( {3} \), np. liczba \( {15} \), bo \( {1+5=6} \), a \( {6:3=2} \).
Takie liczby zaznaczamy w tabeli.
Z zaznaczonych pól w tabeli otrzymujemy liczby: \( {12,15,21,24,33,36,42,45,51,54,63,66} \).
Teraz spośród tych liczb wybieramy tylko liczby nieparzyste.
Otrzymujemy liczby: \( {15,21,33,45,51,63} \).
Zatem liczba sprzyjających wyników wynosi \( {A=6} \).
\[ {P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{\cancel{6}\,1}{\cancel{36}\,6}=\dfrac{1}{6}} \]
Odp. Prawdopodobieństwo zdarzenia \( {A} \) polegającego na tym, że otrzymana liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez \( {3} \), wynosi \( {\dfrac{1}{6}} \).
Zadanie 30
Rozwiązanie
Z wykresu odczytujemy liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek:
1 usterka → 16 samochodów
2 usterki → 10 samochodów
3 usterki → 6 samochodów
4 usterki → 2 samochody
5 usterek → 2 samochody
Dominanta to liczba usterek, która występuje najczęściej.
Najwięcej samochodów miało dokładnie \( {1} \) usterkę.
Odp. Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa \( {1} \).
Rozwiązanie
Obliczamy średnią arytmetyczną liczby usterek.
Najpierw liczymy łączną liczbę usterek.
\[ {1\cdot16+2\cdot10+3\cdot6+4\cdot2+5\cdot2=72} \]
Następnie liczymy liczbę wszystkich samochodów.
\[ {16+10+6+2+2=36} \]
\[ {\bar{x}=\dfrac{72}{36}=2} \]
Odp. Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa \( {2} \).
Rozwiązanie
Liczymy, ile samochodów miało co najmniej dwie usterki.
\[ {10+6+2+2=20} \]
Samochodów z dokładnie jedną usterką było \( {16} \).
Ustawiamy proporcję.
\[ {16\rightarrow100\%} \]
\[ {20\rightarrow x\%} \]
Obliczamy \( {x} \).
\[ {x=\frac{20\cdot100}{16}=}\, {\frac{\cancel{20}\,5\cdot100}{\cancel{16}\,4}=}\, {\frac{5\cdot\cancel{100}\,25}{\cancel{4}\,1}=}\, {5\cdot25=125\%} \]
Odp. Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie usterki, stanowi \( {125} \) procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną usterkę.
Zadanie 31
Rozwiązanie
Mamy funkcję przychodu hotelu.
\[ {P(x)=(80-x)(120+5x)} \]
Sprowadzamy funkcję do postaci ogólnej.
\[ {P(x)=}\, {80\cdot120+80\cdot5x-x\cdot120}{-x\cdot5x} \]
\[ {P(x)=}\, {9600+400x-120x-5x^2} \]
\[ {P(x)=-5x^2+280x+9600} \]
To funkcja kwadratowa z ramionami skierowanymi w dół, więc największą wartość ma w wierzchołku.
Wyznaczamy współrzędną \( {x} \) wierzchołka funkcji.
\[ {x=\frac{-b}{2a}=}\, {\frac{-280}{2\cdot(-5)}=}\, {\frac{-280}{-10}=}\, {28} \]
Oznacza to wzrost ceny o \( {28\cdot5} \) zł.
\[ {28\cdot5=140} \]
Nowa cena za dobę hotelową wynosi:
\[ {120+140=260} \]
Odp. Cena wynajęcia jednoosobowego pokoju, aby dobowy przychód hotelu był największy, wynosi \( {260\text{ zł}} \).