Matura
08.2025
Zadanie 1
Rozwiązanie
Aby sprawdzić znaki wyrażeń z pierwiastkiem, najpierw szacujemy wartość \( \sqrt{5} \).
\[ \sqrt{5} \approx 2{,}24 \]
Podstawiamy przybliżenie do wyrażenia \( {\sqrt{5}-3} \), aby sprawdzić jego znak.
\[ 2{,}24-3=-0{,}76 \]
Sprawdzamy drugie wyrażenie \( {\sqrt{5}-1} \).
\[ 2{,}24-1=1{,}24 \]
Pierwsze wyrażenie jest ujemne, więc zmieniamy w nim znaki, a drugie przepisujemy bez zmian.
\[ -\sqrt{5}+3+\sqrt{5}-1 \]
\[ 3-1=2 \]
Odp. C. \(2\)
Film z rozwiązaniem
Zadanie 2
Rozwiązanie
Liczba \(25\) i \(125\) zamieniamy na podstawę \(5\).
\[ \frac{(5^{2})^{-2}}{(5^{3})^{-4}} = \frac{5^{-4}}{5^{-12}}\]
Kiedy mamy potęgę nad potęgą, wtedy potęgi mnożymy.
\[ \frac{(5^{2})^{-2}}{(5^{3})^{-4}} = \frac{5^{-4}}{5^{-12}}\]
Kreska ułamkowa mówi nam o dzieleniu. Jeżeli mamy dzielenie, wtedy potęgi się odejmują.
\[ \frac{(5^{2})^{-2}}{(5^{3})^{-4}} = \frac{5^{-4}}{5^{-12}}=5^{-4-(-12)}=5^{-4+12}=5^{8}\]
Odp. D. \(5^{8}\)
Zadanie 3
Rozwiązanie
Na samym początku musimy wyciągnąć czynnik (liczbę) przed pierwiastek.
Wyciągamy pełne sześciany spod pierwiastków trzeciego stopnia.
\[ {4\sqrt[3]{3}+2\sqrt[3]{3}=} {\,6\sqrt[3]{3}} \]
Odp. C. \(6\sqrt[3]{3}\)
Zadanie 4
Rozwiązanie
Jeżeli logarytmy są tej samej podstawy \(3\) to liczby logarytmów \(2\) i \(18\) możemy ze sobą podzielić.
\[ {\log_{3}{\frac{2}{18}}=} {\,\log_{3}{\frac{\cancel{2}\,1}{\cancel{18}\,9}}=} {\,\log_{3}{\frac{1}{9}}} \]
Sprawdzamy, do której potęgi należy podnieść \( {3} \), aby otrzymać \( {\dfrac{1}{9}} \).
\[ {3^x=\frac{1}{9}} \]
\[ {3^x=\left(\frac{9}{1}\right)^{-1}} \]
\[ {3^x=9^{-1}} \]
\[ {3^x=(3^2)^{-1}} \]
\[ {3^x=3^{-2}} \]
Mając te same podstawy możemy przyrównać ze sobą potęgi.
\[ {x=-2} \]
\[ {\log_{3}{\frac{1}{9}}=-2} \]
Odp. A. \( -2 \)
Zadanie 5
Rozwiązanie
Zauważmy, że liczbę \( {8} \) możemy zapisać w postaci potęgi liczby \( {2} \).
\[ {8^{50}-2^{145} =} {\,(2^3)^{50}-2^{145} =} {\,2^{150}-2^{145}} \]
Liczbę \( {2^{150}} \) możemy zapisać jako \( {2^{145+5}} \).
\[ {2^{145}\cdot2^{5}-2^{145}} \]
Następnie wyciągamy takie same potęgi \( {2^{145}} \) przed nawias.
\[ {2^{145}\,(2^{5}-1) =} {\,2^{145}\,(32-1) =} {\,31\cdot2^{145}} \]
W rozkładzie liczby \( {8^{50}-2^{145}} \) otrzymaliśmy postać \( {31\cdot2^{145}} \), dlatego jest ona podzielna przez \( {31} \).
Zadanie 6
Rozwiązanie
Jeżeli zauważymy wyrażenia \( {(..+..)^2} \) oraz \( {(..-..)^2} \), to mamy do czynienia ze wzorami skróconego mnożenia.
\[ {(a+b)^2=}\, {(a)^2+2\cdot{a}\cdot{b}+(b)^2} \]
\[ {(a-b)^2=}\, {(a)^2-2\cdot{a}\cdot{b}+(b)^2} \]
Podstawiamy \( {a=3x} \) oraz \( {b=y} \) i rozwijamy oba nawiasy.
\[ {(3x+y)^2=}\, {(3x)^2+2\cdot{3x}\cdot{y}+(y)^2=}\, {9x^2+6xy+y^2} \]
\[ {(3x-y)^2=}\, {(3x)^2-2\cdot{3x}\cdot{y}+(y)^2=}\, {9x^2-6xy+y^2} \]
Wstawiamy do wyrażenia i pamiętamy, że drugie jest odejmowane.
\[ {(9x^2+6xy+y^2)-(9x^2-6xy+y^2)=}\, {9x^2+6xy+y^2-9x^2+6xy-y^2=}\, {12xy} \]
Odp. A. \( {12xy} \)
Zadanie 7
\[ 3\ -\ x \geqslant \frac{5x – 1}{2} \]
Rozwiązanie
Na samym początku usuwamy ułamek, więc mnożymy obie strony przez \( {2} \).
\[ {3-x \geqslant \frac{5x-1}{2} \quad |\cdot2} \]
\[ {3\cdot2-x\cdot2 \geqslant \frac{5x-1}{2}\cdot2} \]
\[ {6-2x \geqslant \frac{5x-1}{\cancel{2}1}\cdot\cancel{2}1} \]
\[ {6-2x \geqslant 5x-1} \]
Przerzucamy \( {x} \) na jedną stronę, a liczby na drugą.
\[ {6+1 \geqslant 5x+2x} \]
\[ {7 \geqslant 7x} \]
Robimy lustrzane odbicie tak, aby \( {x} \) było po lewej stronie (zmienia się tylko kierunek znaku).
\[ {7x \leqslant 7} \]
\[ {7x \leqslant 7 \quad |:7} \]
\[ {x \leqslant 1} \]
Odp. A.\( \;x\in (-\infty, 1] \)
Zadanie 8
\[{\frac{3}{3x\; – \;7}=\frac{5x}{x-8},\quad} \] gdzie \({ x\neq\frac{7}{3}}\) i \({x\neq8}\)
Rozwiązanie
W takich zadaniach otwartych na początku zaczynamy od dziedziny. Nie można dzielić przez \( {0} \), więc wszystko, co jest w mianowniku, musi być różne od zera.
\[ \begin{array}{ll} 3x-7\neq0 & x-8\neq0 \\ 3x\neq7 & x\neq8 \\ 3x\neq7\; |:3 & \\ x\neq\dfrac{7}{3} & \end{array} \]
W tym zadaniu można pominąć ten etap, ponieważ w treści zadania dziedzina jest już podana.
Teraz mnożymy na krzyż.
\[ {\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d},\quad a\cdot d=b\cdot c} \]
\[ {3\cdot(x-8)=(3x-7)\cdot5x} \]
\[ {3x-24=15x^2-35x} \]
\[ {0=15x^2-35x-3x+24} \]
\[ {0=15x^2-38x+24} \]
\[ {15x^2-38x+24=0} \]
Mamy równanie kwadratowe, więc liczymy \( {\Delta} \).
\[ {a=15 \quad b=-38 \quad c=24} \]
\[ {\Delta=}\, {(-38)^2-4\cdot15\cdot24} \]
\[ {\Delta=}\,{1444-1440} \]
\[ {\Delta=}\,{4} \]
\[ {\sqrt{\Delta}=2} \]
Liczymy pierwsze rozwiązanie.
\[ {x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=}\, {\dfrac{-(-38)-2}{2\cdot15}=}\, {\dfrac{38-2}{30}=}\, {\dfrac{36}{30}=}\, {\dfrac{\cancel{36}6}{\cancel{30}5}=}\, {\dfrac{6}{5}} \]
Następnie liczymy drugie rozwiązanie.
\[ {x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=}\, {\dfrac{-(-38)+2}{2\cdot15}=}\, {\dfrac{38+2}{30}=}\, {\dfrac{40}{30}=}\, {\dfrac{\cancel{40}4}{\cancel{30}3}=}\, {\dfrac{4}{3}} \]
Sprawdzamy, które rozwiązania należą do przedziału \( {(\dfrac{5}{4},+\infty)} \).
Odp. Rozwiązaniem równania, które należy do zbioru\(\; (\dfrac{5}{4},+\infty) \) jest liczba \({x=\dfrac{4}{3}} \).
Zadanie 9
\[-3x^2>6x-9\]
Rozwiązanie
W zadaniach z nierównością kwadratową wszystko przerzucamy na lewą stronę, a następnie liczymy \( {\Delta} \) oraz miejsca zerowe.
\[ {-3x^2-6x+9>0} \]
Odczytujemy współczynniki.
\[ {a=-3 \quad b=-6 \quad c=9} \]
Liczymy deltę.
\[ {\Delta=}\, {(-6)^2-4\cdot(-3)\cdot9} \]
\[ {\Delta=}\,{36+108} \]
\[ {\Delta=}\,{144} \]
\[ {\sqrt{\Delta}=12} \]
Liczymy pierwsze miejsce zerowe.
\[ {x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=}\, {\dfrac{-(-6)-12}{2\cdot(-3)}=}\, {\dfrac{6-12}{-6}=}\, {\dfrac{-6}{-6}=}\, {1} \]
Następnie liczymy drugie miejsce zerowe.
\[ {x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=}\, {\dfrac{-(-6)+12}{2\cdot(-3)}=}\, {\dfrac{6+12}{-6}=}\, {\dfrac{18}{-6}=}\, {-3} \]
Rozwiązujemy nierówność na osi \( {X} \) (rysujemy parabolę).
\[x\in(-3,1) \]
Odp. Rozwiązaniem równania, jest przedział \( {x\in(-3,1)}\).
Zadanie 10
Rozwiązanie
W równaniu zapisanym jako iloczyn nawiasów wystarczy każdy nawias przyrównać do zera.
\[ \begin{array}{lll} 3x-12=0 & 10+5x=0 & x-3=0 \\ 3x=12\quad |:3 & 5x=-10\quad |:5 & x=3 \\ x=4 & x=-2 & x=3 \end{array} \]
Obliczamy sumę wszystkich otrzymanych rozwiązań.
\[ {4-2+3=5} \]
Odp. C. \( {5} \)
Zadanie 11
Rozwiązanie
To jest zadanie tekstowe, które rozwiążemy za pomocą układu równań.
\( {x} \) – ilość kg pomidorów malinowych,
\( {y} \) – ilość kg pomidorów cherry.
Pierwsze równanie tworzymy z całkowitej masy pomidorów.
\[ {x+y=75} \]
Drugie równanie tworzymy z całkowitej ceny za pomidory.
\[ {11x+7,98y=752,52} \]
Zapisujemy układ równań.
\[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=75 \\ 11x+7,98y=752,52 \end{array} \right. \]
Z pierwszego równania wyznaczamy \( {x} \).
\[ {x=75-y} \]
Podstawiamy do drugiego równania.
\[ {11(75-y)+7,98y=752,52} \]
\[ {825-11y+7,98y=752,52} \]
\[ {-3,02y=72,48 \quad |:(-3,02)} \]
\[ {y=24} \]
\[ {x=75-24=51} \]
Odp. Właściciel restauracji kupił \( {51} \) kg pomidorów malinowych.
Zadanie 12
\[f(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
-2x-10 & \text{dla}\; x\in(-5,-3] \\
x-1 & \text{dla}\; x\in(-3,4]
\end{array}
\right.
\]
Zadanie 12.1
Rozwiązanie
Odczytujemy punkt przecięcia na osi \(X\). Wynosi on \({x=1}\).
Odp. Miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba \(3\).
Rozwiązanie
Odczytujemy wartość (czyli y) dla \({x=-2}\) i dla \({x=2}\). Wynoszą one \({f(-2)=-3}\) i \({f(2)=1}\). Podstawiamy do wzoru.
\[ {-3+3\cdot1=}\,{-3+3=0} \]
Odp. Wartość wyrażenia \({f(-2)+3\cdot(-2)}\) jest równa 0.
Zadanie 12.2
Rozwiązanie
Odczytujemy teraz przedział wartości na osi \(Y\) (spogladamy od najmniejszego punktu do największego na osi \(Y\).
Odp.Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział \({[-4,3]}\).
Rozwiązanie
Spójrzmy na część wykresu poniżej prostej \({y=-2}\). Ta właśnie część wykresu jest poniżej wartości -2. Należy teraz podać przedział rozwiązania nierówności.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \({f(x)<-2}\) jest przedział \({(-4,-1)}\)
Zadanie 13
Rozwiązanie
Zdanie „Miejscem zerowym funkcji liniowej \( {g} \) jest liczba \( {-3} \)” oznacza punkt przecięcia z osią \( {X} \): \( {(-3,0)} \).
Zdanie „Dla argumentu \( {0} \) funkcja \( {g} \) przyjmuje wartość \( {-\frac{3}{2}} \)” oznacza punkt przecięcia z osią \( {Y} \): \( {(0,-\frac{3}{2})} \).
Korzystamy ze wzoru na równanie prostej \( {y=ax+b} \).
Wyznaczamy współczynnik kierunkowy \( {a} \) z dwóch punktów.
\[ \begin{array}{ll} x_1=-3 & y_1=0 \\ x_2=0 & y_2=-\dfrac{3}{2} \end{array} \]
\[ {a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} \]
\[ {a=\dfrac{-\dfrac{3}{2}-0}{0-(-3)}=}\, {\dfrac{-\dfrac{3}{2}}{3}=}\, {-\dfrac{3}{2}:3=}\, {-\dfrac{3}{2}:\dfrac{3}{1}=}\, {-\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=}\, {-\dfrac{\cancel{3}1}{2}\cdot\dfrac{1}{\cancel{3}1}=}\, {-\dfrac{1}{2}} \]
Współczynnik \( {b} \) odczytujemy z punktu przecięcia z osią \( {Y} \).
Mamy więc \( {b=-\dfrac{3}{2}} \).
Ostatecznie równanie funkcji ma postać: \( {y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}} \).
Odp. A. \( {y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}} \)
Zadanie 14
Zadanie 14.1
Rozwiązanie
Zaznaczamy na rysunku miejsce zerowe \( {x=6} \). Następnie zaznaczamy oś symetrii \( {x=1} \). Odległość miejsca zerowego od osi symetrii wynosi \( {5} \). Taką samą odległość odkładamy na drugą stronę osi. Otrzymujemy drugie miejsce zerowe \( {x=-4} \).
Wzór funkcji kwadratowej zapisujemy w postaci iloczynowej \( {f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)} \).
\[ {f(x)=\dfrac{1}{2}(x+4)(x-6)} \]
Odp. C. \( {f(x)=\dfrac{1}{2}(x+4)(x-6)} \)
Zadanie 14.2
Rozwiązanie
Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej \( {f(x)=\dfrac{1}{2}(x+4)(x-6)} \) najpierw mnożymy nawiasy, a dopiero potem mnożymy przez liczbę przed nawiasem.
\[ {f(x)=\dfrac{1}{2}(x+4)(x-6)=}\, {\dfrac{1}{2}(x^2-6x+4x-24)=}\, {\dfrac{1}{2}(x^2-2x-24)=}\, {\dfrac{1}{2}x^2-x-12} \]
Porównujemy z postacią \( {f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+bx+c} \) i odczytujemy współczynniki.
Mamy \( {b=-1} \) oraz \( {c=-12} \).
Odp. 1. F 2. F
Zadanie 14.3
Rozwiązanie
Wzór \( {g(x)=f(x-3)} \) oznacza przesunięcie wykresu o \( {3} \) jednostki w prawo. Jeżeli wykres się przesuwa, to oś symetrii również.
Obecna oś symetrii ma równanie \( {x=1} \). Po przesunięciu o \( {3} \) w prawo otrzymujemy \( {x=4} \).
Odp. D. \( {x=4} \)
Zadanie 15
Rozwiązanie
Szósty wyraz ciągu oznacza, że w miejsce \( {n} \) podstawiamy liczbę \( {6} \).
\[ {a_6=\dfrac{32\cdot(-1)^6}{2^{6-1}}=}\, {\dfrac{32\cdot1}{2^5}=}\, {\dfrac{32}{32}=}\, {1} \]
Odp. C. \( {1} \)
Zadanie 16
Rozwiązanie
Wypisujemy informacje potrzebne do obliczenia szóstego wyrazu ciągu.
\( {r=-4} \quad {a_{10}=-24} \)
Wyraz \( {a_{10}} \) możemy zapisać jako sumę wyrazu \( {a_6} \) i \( {4r} \).
\[ {a_{10}=a_6+4r} \]
Podstawiamy dane i obliczamy.
\[ {-24=a_6+4\cdot(-4)} \]
\[ {-24=a_6-16} \]
\[ {-24+16=a_6} \]
\[ {-8=a_6} \]
Odp. B. \( {-8} \)
Zadanie 17
Rozwiązanie
Z równania \( {a_3=-8\cdot a_6} \) zapisujemy wyraz \( {a_6} \) za pomocą ilorazu ciągu geometrycznego.
\[ {a_6=a_3\cdot q^3} \]
\[ {a_3=-8\cdot a_3\cdot q^3} \]
Dzielimy obie strony przez \( {a_3} \).
\[ {a_3=-8\cdot a_3\cdot q^3 \quad |:a_3} \]
\[ {1=-8\cdot q^3} \]
\[ {1=-8\cdot q^3 \quad |:(-8)} \]
\[ {-\dfrac{1}{8}=q^3} \]
Iloraz jest w trzeciej potędze, więc pierwiastkujemy obie strony pierwiastkiem trzeciego stopnia.
\[ {q=\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}}} \]
\[ {q=-\dfrac{1}{2}} \]
Odp. B. \( {-\dfrac{1}{2}} \)
Zadanie 18
Rozwiązanie
W zadaniach, w których pojawia się zapis „trzywyrazowy” lub „sąsiednich”, możemy skorzystać z gotowych wzorów.
Dla ciągu arytmetycznego mamy wzór \( {a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}} \), gdzie \( {a_{n-1}} \) jest wyrazem po lewej, \( {a_n} \) po środku, a \( {a_{n+1}} \) po prawej.
Obliczamy wartość \( {x} \) dla ciągu arytmetycznego.
\[ {a_{n-1}=\sqrt{5} \quad a_n=1 \quad a_{n+1}=x} \]
\[ {1=\dfrac{\sqrt{5}+x}{2}} \]
\[ {1=\dfrac{\sqrt{5}+x}{2} \quad |\cdot2} \]
\[ {2=\sqrt{5}+x} \]
\[ {2-\sqrt{5}=x} \]
Sprawdzamy w przybliżeniu wartość \( {x} \).
\[ {x=2-2,23\approx-0,23} \]
Widzimy, że \( {x<0} \).
Dla ciągu geometrycznego korzystamy ze wzoru \( {(a_n)^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}} \).
Obliczamy wartość \( {y} \).
\[ {a_{n-1}=\sqrt{5} \quad a_n=1 \quad a_{n+1}=y} \]
\[ {1^2=\sqrt{5}\cdot y} \]
\[ {1=\sqrt{5}\cdot y \quad |:\sqrt{5}} \]
\[ {\dfrac{1}{\sqrt{5}}=y} \]
Sprawdzamy w przybliżeniu wartość \( {y} \).
\[ {y=\dfrac{1}{2,23}\approx0,45} \]
Widzimy, że \( {y>0} \).
Odp. B. \( {x<0 \quad y>0} \)
Zadanie 19
Rozwiązanie
Jeżeli kąt jest ostry, to możemy rozwiązać to za pomocą wzoru na \(tg\,\alpha\) z trójkąta prostokątnego.
\[ {{\cos\alpha}=\dfrac{b}{c} \quad {tg\,\alpha}=\dfrac{a}{b}} \]
\[ {{\cos\alpha}=\dfrac{5}{13} \quad b=5 \quad c=13} \]
Do obliczenia \( {{tg\,\alpha}} \) potrzebujemy długości boku \( {a} \). Obliczymy ją z twierdzenia Pitagorasa.
\[ {a^2+b^2=c^2} \]
\[ {a^2+5^2=13^2} \]
\[ {a^2+25=169} \]
\[ {a^2=169-25} \]
\[ {a^2=144 \quad |\sqrt{}} \]
\[ {a=12} \]
Teraz obliczamy wartość \( {{tg\,\alpha}} \).
\[ {{tg\,\alpha}=\dfrac{12}{5}} \]
Odp. D. \( {\dfrac{12}{5}} \)
Zadanie 20
Rozwiązanie
Odczytujemy wartości funkcji trygonometrycznych z tabeli.
\[ {{\sin30^{\circ}}=\dfrac{1}{2} \quad {\cos60^{\circ}}=\dfrac{1}{2}}\quad {{\sin60^{\circ}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad {\cos30^{\circ}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ {\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=}\, {\dfrac{1}{4}+ \dfrac{\sqrt{9}}{4}=}\, {\dfrac{1}{4}+ \dfrac{3}{4}=}\, {\dfrac{4}{4}=}\, {1} \]
Odp. D. \( {1} \)
Zadanie 21
Zadanie 21.1
Rozwiązanie
Szukamy kąta wpisanego i kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
Kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy od kąta wpisanego.
\[ {\angle ASB=2\cdot40^{\circ}=80^{\circ}} \]
Odp. D. \( 80^{\circ} \)
Zadanie 21.2
Rozwiązanie
Do obliczenia długości łuku \( {BC} \) korzystamy ze wzoru \( {L=\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\cdot2\pi\cdot r} \).
Do punktu \( {C} \) prowadzimy promień \( {r=36} \). Powstaje trójkąt równoramienny, więc obliczamy kąt środkowy \( {\angle BSC} \).
\[ {180^{\circ}-65^{\circ}-65^{\circ}=50^{\circ}} \]
\[ {L=\dfrac{50^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot2\pi\cdot36=}\, {\dfrac{\cancel{50^{\circ}}\,5}{\cancel{360^{\circ}}\,36}\cdot2\pi\cdot36=}\, {\dfrac{5}{\cancel{36}\,1}\cdot2\pi\cdot\cancel{36}\,1=}\, {\dfrac{5}{1}\cdot2\pi=}\, {10\pi} \]
Odp. B. \( 10\pi \)
Zadanie 22
Zadanie 22.1
Rozwiązanie
Mamy dane dwa boki trójkąta \( {AB=6} \), \( {AC=4} \) oraz kąt pomiędzy nimi \( {\angle CAB=60^{\circ}} \), więc liczymy pole ze wzoru \( {P=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin\alpha} \).
\[ {P=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin\alpha} \]
\[ {P=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot6\cdot\sin60^{\circ}=}\, {\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=}\, {\dfrac{1}{\cancel{2}\,1}\cdot\cancel{4}2\cdot6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=}\, {\cancel{2}1\cdot6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\cancel{2}\,1}=}\, {6\sqrt{3}} \]
Odp. B. \( 6\sqrt{3} \)
Zadanie 22.2
Rozwiązanie
Twierdzenie cosinusów możemy zastosować, gdy znamy dwa boki trójkąta i kąt między nimi, a chcemy policzyć bok leżący naprzeciwko tego kąta.
\[ {a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos\alpha} \]
Dla \( {b=4} \), \( {c=6} \), \( {\alpha=60^{\circ}} \) mamy:
\[ {a^2=4^2+6^2-2\cdot4\cdot6\cdot\cos60^{\circ}} \]
\[ {a^2=16+36-48\cdot\cos60^{\circ}} \]
\[ {a^2=16+36-48\cdot\dfrac{1}{2}} \]
\[ {a^2=52-24} \]
\[ {a^2=28 \quad |\sqrt{}} \]
\[ {a=\sqrt{28}} \]
Odp. A. \( \sqrt{28} \)
Zadanie 23
Rozwiązanie
Trójkąty \( {\triangle ADB} \) i \( {\triangle ACB} \) mają tę samą podstawę \( {AB} \) i taką samą wysokość \( {h} \), więc ich pola są równe.
\[ {P=\dfrac{1}{2}\cdot\text{podstawa}\cdot\text{wysokość} } \]
\[ {P_{ADB}=\dfrac{1}{2}\cdot|AB|\cdot h} \]
\[ {P_{ACB}=\dfrac{1}{2}\cdot|AB|\cdot h} \]
\[ {P_{ADB}=P_{ACB}} \]
Pole trójkąta \( {\triangle ADB} \) składa się z pól \( {\triangle AED} \) i \( {\triangle AEB} \), a pole trójkąta \( {\triangle ACB} \) składa się z pól \( {\triangle BCE} \) i \( {\triangle AEB} \).
\[ {P_{ADB}=P_{AED}+P_{AEB}} \]
\[ {P_{ACB}=P_{BCE}+P_{AEB}} \]
Podstawiamy do równości \( {P_{ADB}=P_{ACB}} \).
\[ {P_{AED}+P_{AEB}=P_{BCE}+P_{AEB}} \]
\[ {P_{AED}=P_{BCE}} \]
Wyszło, że pola trójkątów \( {\triangle AED} \) oraz \( {\triangle BCE} \) są równe.
Odp. Prawda.
Rozwiązanie
Trójkąty \( {\triangle ABE} \) oraz \( {\triangle CDE} \) są podobne z cechy KKK.
K: kąty naprzemianległe \( {\angle CAB=\angle ACD} \),
K: kąty naprzemianległe \( {\angle ABD=\angle BDC} \),
K: kąty wierzchołkowe \( {\angle AEB=\angle DEC} \).
Skoro trójkąty są podobne, to obliczamy skalę podobieństwa z porównania odpowiadających sobie podstaw.
\[ {k=\dfrac{|AB|}{|CD|}} \]
Z treści zadania: \( {|AB|=2\cdot|CD|} \).
\[ {k=\dfrac{2\cdot|CD|}{|CD|}=}\, {\dfrac{2\cdot\cancel{|CD|}}{\cancel{|CD|}}=}\, {2} \]
Skala długości boków wynosi \( {k=2} \). Żeby porównać pola, bierzemy skalę kwadratową.
\[ {k=2 \quad |^2} \]
\[ {k^2=4} \]
Czyli pole trójkąta \( {\triangle ABE} \) jest cztery razy większe od pola trójkąta \( {\triangle CDE} \).
Odp. Pole trójkąta \( {\triangle ABE} \) jest dwa razy większe od pola trójkąta \( {\triangle CDE} \). FAŁSZ
Zadanie 24
\[ k:\; y=(3-m)x+5 \]
\[ l:\; y=(m+3)x-4 \]
Rozwiązanie
Proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe.
\[ {a_1=a_2} \]
W postaci \( {y=ax+b} \) współczynnikiem kierunkowym jest liczba stojąca przy \( {x} \).
\[a_1=3-m \quad a_2=m+3\]
Podstawiamy do warunku \( {a_1=a_2} \).
\[ {3-m=m+3} \]
\[ {3-3=m+m} \]
\[ {0=2m \quad |:2} \]
\[ {m=0} \]
Odp. Proste \( k \) oraz \( l \) są równoległe, gdy liczba \( m \) jest równa \( 0 \) .
Zadanie 25
\[\mathcal{O}: \; (x-1)^2+(y+3)^2=4\]
Rozwiązanie
Podane równanie przedstawia okrąg w kartezjańskim układzie współrzędnych XY o środku okręgu S(a,b) i promieniu r.
\[ {(x-a)^2+(y-b)^2=r^2} \]
\[ {(x-1)^2+(y+3)^2=4} \]
Środek okręgu wynosi \( {S(1,-3)} \), a promień \( {r=2} \). Kolejnym krokiem jest narysowanie okręgu w układzie XY.
Narysowany okrąg 𝒪 nie ma punktów przecięcia z osią X, ale ma dwa punkty przecięcia z osią Y.
Odp. Okrąg 𝒪 nie ma punktów wspólnych z osią 𝑂𝑥 układu współrzędnych. PRAWDA
Odp. Okrąg 𝒪 ma z osią 𝑂𝑦 układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne. PRAWDA
Zadanie 26
Rozwiązanie
Zapiszmy najpierw wzór na objętość graniastosłupa i pole powierzchni całkowitej.
\[ {V=P_p\cdot H} \]
\[ {P_c=2\cdot P_p+P_b} \]
Gdzie:
\(P_p\) – pole podstawy graniastosłupa,
\(H\) – wysokość graniastosłupa,
\(P_b\) – pole boczne graniastosłupa.
W celu obliczenia pola bocznego \(P_b\) i \(P_p\) musimy obliczyć krawędź podstawy \(a\) i wysokość \(H\). W zadaniu mamy powiedziane „Graniastosłup prawidłowy trójkątny”, słowo „prawidłowy” mówi nam, że w podstawie jest trójkąt równoboczny.
Z treści zadania znamy wysokość trójkąta równobocznego w podstawie, która wynosi \( {2\sqrt{3}} \). Korzystamy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego. Podstawiamy wysokość i liczymy długość podstawy \(a\).
\[ h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \]
\[ {2\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \quad |\cdot2} \]
\[ {4\sqrt{3}=a\sqrt{3} \quad |:\sqrt{3}} \]
\[ {a=4} \]
Przejdźmy do obliczenia wysokości graniastosłupa \(H\). Pomoże nam w tym trójkąt charakterystyczny \(30^{\circ}\), \(60^{\circ}\), \(90^{\circ}\) (mowa o trójkącie ABE).
Zatem wysokość graniastosłupa wynosi \({H=4\sqrt{3}}\).
Obliczamy pole podstawy, czyli pole trójkąta równobocznego.
\[ {P_p=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=}\, {\dfrac{4^2\sqrt{3}}{4}=}\, {\dfrac{16\sqrt{3}}{4}=}\, {\dfrac{\cancel{16}\,4\sqrt{3}}{\cancel{4}\,1}=}\, {4\sqrt{3}} \]
Obliczamy pole boczne, które składa się z trzech jednakowych ścian prostokąta.
\[ {P_b=3\cdot P_{\text{▯}}=}\, {3\cdot(a\cdot H)=}\, {3\cdot(4\cdot4\sqrt{3})=}\, {48\sqrt{3}} \]
\[ {V=P_p\cdot H=}\, {4\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}=}\, {16\sqrt{9}=}\, {16\cdot3=}\, {48} \]
\[ {P_c=2\cdot P_p+P_b=}\, {2\cdot4\sqrt{3}+48\sqrt{3}=}\, {8\sqrt{3}+48\sqrt{3}=}\, {56\sqrt{3}} \]
Odp. Objętość graniastosłupa wynosi \({V=48}\), a pole powierzchni całkowitej \({P_c=56\sqrt{3}}\).
Zadanie 27
Rozwiązanie
Z treści zadania odczytujemy \( {r=2} \) oraz \( {V=16\pi} \). Szukamy wysokości walca \( {H} \).
Korzystamy ze wzoru na objętość walca.
\[
{V=\pi r^2 H}
\]
Podstawiamy dane z zadania.
\[
{16\pi=\pi\cdot(2)^2\cdot H}
\]
\[
{16\pi=\pi\cdot4\cdot H} \quad |:\pi
\]
\[
{16=4H}
\]
\[
{16=4H \quad |:4}
\]
\[
{H=4}
\]
Odp. B. \(4\)
Zadanie 28
Rozwiązanie
Szukamy trzycyfrowych liczb większych niż \( {500} \), które mają tylko cyfry nieparzyste.
Cyfry nieparzyste to \( {1,3,5,7,9} \), mamy ich \( {5} \).
Ponieważ liczba ma być większa niż \( {500} \), cyfra setek musi być równa \( {5} \), \( {7} \) lub \( {9} \).
Na miejscu setek mamy więc \( {3} \) możliwości.
Na miejscu dziesiątek i jedności mogą być dowolne cyfry nieparzyste, czyli po \( {5} \) możliwości na każdą pozycję.
Obliczamy liczbę wszystkich możliwości.
\[ {3\cdot5\cdot5=75} \]
Odp. C. \( {75} \)
Zadanie 29
Rozwiązanie
Ponieważ rzucamy kostką dwa razy, najwygodniej jest rozpisać wszystkie możliwości w tabeli.
Najpierw liczymy liczbę wszystkich możliwych wyników.
\[ {\Omega=}\, {6\cdot6=36} \]
Teraz wybieramy liczby dwucyfrowe, które są jednocześnie nieparzyste i podzielne przez \( {3} \).
Liczba jest podzielna przez \( {3} \), gdy suma jej cyfr jest podzielna przez \( {3} \), np. liczba \( {15} \), bo \( {1+5=6} \), a \( {6:3=2} \).
Takie liczby zaznaczamy w tabeli.
Z zaznaczonych pól w tabeli otrzymujemy liczby: \( {12,15,21,24,33,36,42,45,51,54,63,66} \).
Teraz spośród tych liczb wybieramy tylko liczby nieparzyste.
Otrzymujemy liczby: \( {15,21,33,45,51,63} \).
Zatem liczba sprzyjających wyników wynosi \( {A=6} \).
\[ {P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{\cancel{6}\,1}{\cancel{36}\,6}=\dfrac{1}{6}} \]
Odp. Prawdopodobieństwo zdarzenia \( {A} \) polegającego na tym, że otrzymana liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez \( {3} \), wynosi \( {\dfrac{1}{6}} \).
Zadanie 30
Rozwiązanie
Z wykresu odczytujemy liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek:
1 usterka → 16 samochodów
2 usterki → 10 samochodów
3 usterki → 6 samochodów
4 usterki → 2 samochody
5 usterek → 2 samochody
Dominanta to liczba usterek, która występuje najczęściej.
Najwięcej samochodów miało dokładnie \( {1} \) usterkę.
Odp. Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa \( {1} \).
Rozwiązanie
Obliczamy średnią arytmetyczną liczby usterek.
Najpierw liczymy łączną liczbę usterek.
\[ {1\cdot16+2\cdot10+3\cdot6+4\cdot2+5\cdot2=72} \]
Następnie liczymy liczbę wszystkich samochodów.
\[ {16+10+6+2+2=36} \]
\[ {\bar{x}=\dfrac{72}{36}=2} \]
Odp. Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa \( {2} \).
Rozwiązanie
Liczymy, ile samochodów miało co najmniej dwie usterki.
\[ {10+6+2+2=20} \]
Samochodów z dokładnie jedną usterką było \( {16} \).
Ustawiamy proporcję.
\[ {16\rightarrow100\%} \]
\[ {20\rightarrow x\%} \]
Obliczamy \( {x} \).
\[ {x=\frac{20\cdot100}{16}=}\, {\frac{\cancel{20}\,5\cdot100}{\cancel{16}\,4}=}\, {\frac{5\cdot\cancel{100}\,25}{\cancel{4}\,1}=}\, {5\cdot25=125\%} \]
Odp. Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie usterki, stanowi \( {125} \) procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną usterkę.
Zadanie 31
Rozwiązanie
Mamy funkcję przychodu hotelu.
\[ {P(x)=(80-x)(120+5x)} \]
Sprowadzamy funkcję do postaci ogólnej.
\[ {P(x)=}\, {80\cdot120+80\cdot5x-x\cdot120}{-x\cdot5x} \]
\[ {P(x)=}\, {9600+400x-120x-5x^2} \]
\[ {P(x)=-5x^2+280x+9600} \]
To funkcja kwadratowa z ramionami skierowanymi w dół, więc największą wartość ma w wierzchołku.
Wyznaczamy współrzędną \( {x} \) wierzchołka funkcji.
\[ {x=\frac{-b}{2a}=}\, {\frac{-280}{2\cdot(-5)}=}\, {\frac{-280}{-10}=}\, {28} \]
Oznacza to wzrost ceny o \( {28\cdot5} \) zł.
\[ {28\cdot5=140} \]
Nowa cena za dobę hotelową wynosi:
\[ {120+140=260} \]
Odp. Cena wynajęcia jednoosobowego pokoju, aby dobowy przychód hotelu był największy, wynosi \( {260\text{ zł}} \).