Akademia Liczb

Zaloguj się

Materiały

Liczby rzeczywiste

Liczby naturalne

Zadanie 1

Czy przedstawione liczby są podzielne przez 2?

a) \(122\)
b) \(458\)
c) \(2004\)
\(122\) → Ostatnia liczba „2” jest parzysta, zatem cała liczba jest podzielna przez 2.
\(458\) → Ostatnia liczba „8” jest parzysta, zatem cała liczba jest podzielna przez 2.
\(2004\) → Ostatnia liczba „4” jest parzysta, zatem cała liczba jest podzielna przez 2.

Zadanie 2

Czy przedstawione liczby są podzielne przez 3?
a) \(123\)
b) \(258\)
c) \(3540\)
\(123\) → Suma cyfr \(1 + 2 + 3 = 6\). Liczba \(6\) jest podzielna przez 3, zatem liczba \(123\) również jest podzielna przez 3.
\(258\) → Suma cyfr \(2 + 5 + 8 = 15\). Liczba \(15\) jest podzielna przez 3, zatem liczba \(258\) również jest podzielna przez 3.
\(3540\) → Suma cyfr \(3 + 5 + 4 + 0 = 12\). Liczba \(12\) jest podzielna przez 3, zatem liczba \(3540\) również jest podzielna przez 3.

Zadanie 3

Czy przedstawione liczby są podzielne przez 6?
a) \(132\)
b) \(471\)
c) \(2406\)
\(132\) → Ostatnia cyfra \(2\), więc liczba jest podzielna przez 2. Suma cyfr \(1 + 3 + 2 = 6\), liczba \(6\) jest podzielna przez 3. Skoro liczba jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3, to jest podzielna przez 6.
\(471\) → Ostatnia cyfra \(1\), więc liczba nie jest podzielna przez 2. Suma cyfr \(4 + 7 + 1 = 12\), liczba \(12\) jest podzielna przez 3. Ponieważ liczba nie jest podzielna przez 2, nie jest też podzielna przez 6.
\(2406\) → Ostatnia cyfra \(6\), więc liczba jest podzielna przez 2. Suma cyfr \(2 + 4 + 0 + 6 = 12\), liczba \(12\) jest podzielna przez 3. Skoro liczba jest podzielna przez 2 i przez 3, to jest również podzielna przez 6.

Zadanie 4

Podaj sumę czterech kolejnych liczb nieparzystych.
a) \(2n + 1\)
b) \(4n – 3\)
c) \(8n + 5\)
\(2n + 1\) → to pierwsza liczba nieparzysta.
Trzy kolejne liczby nieparzyste otrzymujemy, dodając kolejno 2:
\(2n + 1 + 2 = 2n + 3\)
\(2n + 3 + 2 = 2n + 5\)
\(2n + 5 + 2 = 2n + 7\)
Cztery kolejne liczby nieparzyste to:
\(2n + 1,\ 2n + 3,\ 2n + 5,\ 2n + 7\)
Dodajemy je razem:
\((2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) = 8n + 16 = 8(n + 2)\)
\(4n – 3\) → to pierwsza liczba nieparzysta.
Trzy kolejne liczby nieparzyste otrzymujemy, dodając kolejno 2:

\(4n – 3 + 2 = 4n – 1\)

\(4n – 1 + 2 = 4n + 1\)

\(4n + 1 + 2 = 4n + 3\)

Cztery kolejne liczby nieparzyste to: \(4n – 3,\ 4n – 1,\ 4n + 1,\ 4n + 3\)
Dodajemy je razem: \((4n – 3) + (4n – 1) + (4n + 1) + (4n + 3) = 16n\)
\(8n + 5\) → to pierwsza liczba nieparzysta.
Trzy kolejne liczby nieparzyste otrzymujemy, dodając kolejno 2:

\(8n + 5 + 2 = 8n + 7\)

\(8n + 7 + 2 = 8n + 9\)

\(8n + 9 + 2 = 8n + 11\)

Cztery kolejne liczby nieparzyste to: \(8n + 5,\ 8n + 7,\ 8n + 9,\ 8n + 11\)
Dodajemy je razem: \((8n + 5) + (8n + 7) + (8n + 9) + (8n + 11) = 32n + 32 = 32(n + 1)\)

Zadanie 5

Wyznacz NWD (największy wspólny dzielnik) oraz NWW (najmniejszą wspólną wielokrotność) dla podanych par liczb:
a) \(18 \text{ i } 24\)
b) \(45 \text{ i } 60\)
c) \(84 \text{ i } 126\)
d) \(72 \text{ i } 120\)
W celu obliczenia największego wspólnego dzielnika (NWD) i najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) należy rozłożyć liczby \(18\) i \(24\) na czynniki pierwsze:
18 2
9 3
3 3
1
24 2
12 2
6 2
3 3
1
Obliczenie NWW:
Krok 1: Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze:
\(24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\)
\(18 = 2 \times 3 \times 3\)
Krok 2: Wypisujemy, w którym rozkładzie czynnik pierwszy wystąpił najwięcej razy:
\(2\) → najwięcej razy w liczbie 24
\(3\) → najwięcej razy w liczbie 18
Krok 3: Wybieramy największe liczby czynników:
\(2 \times 2 \times 2\) i \(3 \times 3\)
Krok 4: Obliczamy NWW:
\(NWW(18, 24) = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 72\)
Obliczenie NWD:
Krok 1: Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze:
\(24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\)
\(18 = 2 \times 3 \times 3\)
Krok 2: Wybieramy czynniki wspólne dla obu liczb:
\(2\) i \(3\)
Krok 3: Wybieramy najmniejsze liczby czynników wspólnych:
\(2\) (1 raz) i \(3\) (1 raz)
Krok 4: Obliczamy NWD:
\(NWD(18, 24) = 2 \times 3 = 6\)
453
153
55
1
602
302
153
55
1
\(45 = 3 \times 3 \times 5\)
\(60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5\)
\(NWW(45, 60) = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 180\)
\(NWD(45, 60) = 3 \times 5 = 15\)
842
422
213
77
1
1262
633
213
77
1
\(84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7\)
\(126 = 2 \times 3 \times 3 \times 7\)
\(NWW(84, 126) = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 252\)
\(NWD(84, 126) = 2 \times 3 \times 7 = 42\)
722
362
182
93
33
1
1202
602
302
153
55
1
\(72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3\)
\(120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5\)
\(NWW(72, 120) = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 360\)
\(NWD(72, 120) = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 24\)

Liczby całkowite i wymierne

Zadanie 1

Oblicz:
a) \(2 \tfrac{1}{3} – 1 \tfrac{3}{4}\)
b) \(\tfrac{5}{6} + \left(-\tfrac{7}{8} – \tfrac{2}{3}\right)\)
c) \(-(1 \tfrac{4}{5}) + \tfrac{11}{12}\)
d) \(-2 \tfrac{3}{10} + 1 \tfrac{1}{2} – 0{,}2\)
e) \(2 \tfrac{1}{4} \cdot \left(-1 \tfrac{2}{3}\right) : \left(-\tfrac{5}{6}\right)\)
\(2 \tfrac{1}{3} – 1 \tfrac{3}{4} = \tfrac{7}{3} – \tfrac{7}{4} = \tfrac{7^{\cdot 4}}{3^{\cdot 4}} – \tfrac{7^{\cdot 3}}{4^{\cdot 3}} = \tfrac{28}{12} – \tfrac{21}{12} = \tfrac{7}{12}\)
\(\tfrac{5}{6} + \big(-\tfrac{7}{8} – \tfrac{2}{3}\big) = \tfrac{5}{6} – \tfrac{7}{8} – \tfrac{2}{3} = \tfrac{5^{\cdot 4}}{6^{\cdot 4}} – \tfrac{7^{\cdot 3}}{8^{\cdot 3}} – \tfrac{2^{\cdot 8}}{3^{\cdot 8}} = \tfrac{20}{24} – \tfrac{21}{24} – \tfrac{16}{24} = -\tfrac{17}{24}\)
\(-\left(1 \tfrac{4}{5}\right) + \tfrac{11}{12} = -\tfrac{9}{5} + \tfrac{11}{12} = -\tfrac{9^{\cdot 12}}{5^{\cdot 12}} + \tfrac{11^{\cdot 5}}{12^{\cdot 5}} = -\tfrac{108}{60} + \tfrac{55}{60} = -\tfrac{53}{60}\)
\(-2 \tfrac{3}{10} + 1 \tfrac{1}{2} – 0{,}2 = -\tfrac{23}{10} + \tfrac{3}{2} – \tfrac{1}{5} = -\tfrac{23^{\cdot 1}}{10^{\cdot 1}} + \tfrac{3^{\cdot 5}}{2^{\cdot 5}} – \tfrac{1^{\cdot 2}}{5^{\cdot 2}} = -\tfrac{23}{10} + \tfrac{15}{10} – \tfrac{2}{10} = -\tfrac{10}{10} = -1\)
\(2 \tfrac{1}{4} \cdot \left(-1 \tfrac{2}{3}\right) : \left(-\tfrac{5}{6}\right) = \tfrac{9}{4} \cdot \left(-\tfrac{5}{3}\right) : \left(-\tfrac{5}{6}\right) = \tfrac{\cancel{9}^{\,3}}{4} \cdot \left(-\tfrac{5}{\cancel{3}^{\,1}}\right) : \left(-\tfrac{5}{6}\right) = \tfrac{3}{4} \cdot \left(-\tfrac{5}{1}\right) : \left(-\tfrac{5}{6}\right) = -\tfrac{15}{4} : \left(-\tfrac{5}{6}\right) = -\tfrac{15}{4} \cdot \left(-\tfrac{6}{5}\right) = -\tfrac{\cancel{15}^{\,3}}{\cancel{4}^{\,2}} \cdot \left(-\tfrac{\cancel{6}^{\,3}}{\cancel{5}^{\,1}}\right) = -\tfrac{3}{2} \cdot \left(-\tfrac{3}{1}\right) = \tfrac{9}{2} = 4 \tfrac{1}{2}\)

Zadanie 2

Oblicz:
a) \(\dfrac{1\tfrac{3}{5}}{2\tfrac{1}{10}}\)
b) \(\dfrac{\tfrac{3}{4}+\tfrac{5}{6}}{\tfrac{1}{2}}\)
c) \(\dfrac{2-\tfrac{3}{8}}{1-\tfrac{1}{4}}\)
d) \(\dfrac{\tfrac{7}{9}-\tfrac{1}{3}}{\tfrac{5}{6}+\tfrac{1}{4}}\)
\(\dfrac{1\tfrac{3}{5}}{2\tfrac{1}{10}} = 1\tfrac{3}{5} : 2\tfrac{1}{10} = \tfrac{8}{5} : \tfrac{21}{10} = \tfrac{8}{5} \cdot \tfrac{10}{21} = \tfrac{\cancel{8}^{\,8}}{\cancel{5}^{\,5}} \cdot \tfrac{\cancel{10}^{\,2}}{\cancel{21}^{\,7}} = \tfrac{16}{21}\)
\(\dfrac{\tfrac{3}{4}+\tfrac{5}{6}}{\tfrac{1}{2}} = \dfrac{\tfrac{3^{\cdot 3}}{4^{\cdot 3}}+\tfrac{5^{\cdot 2}}{6^{\cdot 2}}}{\tfrac{1}{2}} = \dfrac{\tfrac{9}{12}+\tfrac{10}{12}}{\tfrac{1}{2}} = \dfrac{\tfrac{19}{12}}{\tfrac{1}{2}} = \tfrac{19}{12} : \tfrac{1}{2} = \tfrac{19}{12} \cdot \tfrac{2}{1} = \tfrac{19}{\cancel{12}^{\,6}} \cdot \tfrac{\cancel{2}^{\,1}}{1} = \tfrac{19}{6} = 3 \tfrac{1}{6}\)
\(\dfrac{2-\tfrac{3}{8}}{1-\tfrac{1}{4}} = \dfrac{\tfrac{16}{8}-\tfrac{3}{8}}{\tfrac{4}{4}-\tfrac{1}{4}} = \dfrac{\tfrac{13}{8}}{\tfrac{3}{4}} = \tfrac{13}{8} : \tfrac{3}{4} = \tfrac{13}{8} \cdot \tfrac{4}{3} = \tfrac{13 \cdot \cancel{4}^{\,1}}{\cancel{8}^{\,2} \cdot 3} = \tfrac{13}{6}\)
\(\dfrac{\tfrac{7}{9}-\tfrac{1}{3}}{\tfrac{5}{6}+\tfrac{1}{4}} = \dfrac{\tfrac{7}{9}-\tfrac{1^{\cdot 3}}{3^{\cdot 3}}}{\tfrac{5^{\cdot 2}}{6^{\cdot 2}}+\tfrac{1^{\cdot 3}}{4^{\cdot 3}}} = \dfrac{\tfrac{7}{9}-\tfrac{3}{9}}{\tfrac{10}{12}+\tfrac{3}{12}} = \dfrac{\tfrac{4}{9}}{\tfrac{13}{12}} = \tfrac{4}{9} : \tfrac{13}{12} = \tfrac{4}{9} \cdot \tfrac{12}{13} = \tfrac{4}{\cancel{9}^{\,3}} \cdot \tfrac{\cancel{12}^{\,4}}{13} = \tfrac{4}{3} \cdot \tfrac{4}{13} = \tfrac{16}{39}\)
Scroll to Top